反演

什么是反演：

有函数(F(x))，令(G(s)=sum F(x))，其中x与s的关系自定，在已知(G)求(F)的过程叫反演。

集合反演：(xsubseteq s)

公式：(F(x)=sum_{ssubseteq x} (-1)^{|x|-|s|} imes G(s))
推导过程： 核心是容斥。
(1.)首先，当(x=s)那么所有(tsubseteq sF(t))都被加入，我们要把除了(x)之外的都删掉。
(2.)我们将(x)与(s)相差(1)的都减去，他们两两之间的交集会减两次，还要再加回，那么就变成了容斥的形式。

莫比乌斯反演：(x|s)

公式：(F(n)=sum_{d|n} mu (frac n d) imes G(d))
推导过程：与集合反演类似，但是更加复杂，核心也是容斥。
(step 1:)首先,(mu(frac n d))代表(G(x))要加入还是删除，类似于集合反演，我们想要找到在(d)与(n)的某种关系下固定的系数，对于集合是(|x|-|s|)，对于莫比乌斯反演，我们选择(frac n d)。
我们令(x=frac n d)，分类讨论：
(step 2:)若(t=1)，即(n=d)，我们必须选，于是(mu(1)=1)
(step 3:)若(t)是质数，是(n)变成“子集”的最小单位，我们把他删除，(mu (p)=-1)
(step 4:)若(t)是两个不同质数的乘积，那么(d)被这两个质数删了两次要加回，那么(mu(t)=1)。
(step5:)那么三个质数时呢 ，我们又要减去，现在又变成了容斥的形式，所以当(t)是(k)个不同质数的乘积时(mu(t)=(-1)^k)。
(step6:)我们发现整个过程已经完毕，那么其余(mu=0)。
总结-莫比乌斯函数：
(~~~~~~~~~~~~~~~mu(x)={egin{cases}{1~~~~~~~~~~(x=1)}\{(-1)^k~~(x=p_1 imes p_2 imescdots imes p_k)}\{0~~~~~~~~~~(others)}end{cases}})
一些公式：

[sum_{d|m}mu(d)=[m==1] ]

(组合数可证)

[sum_{d|m}frac{mu(d)} d=frac{varphi(n)} n ]

(左面通分，同去掉分母(n)，根据(n=sum_{d|n}varphi(d))反演可得）$$sum_{d|n}mu(frac n d)sigma(d)=1$$
（反演回去可得(sigma(n)=sum_{d|n} 1)）
扩展-莫比乌斯反演的另一种形式：(s|x)

[F(n)=sum_{n|d}mu(frac d n)G(d) ]

与原式一样容斥可得到。
应用：
求$$sum_{i=1}^Nsum_{j=1}N gcd(i,j)$$
设(f(x))是(gcd=x)的数对个数，(g(x))是(gcd=k imes x)的数对个数，那么：

[g(x)=(lfloorfrac N x floor)^2 ]

根据扩展：

[f(d)=sum_{d|n}mu(frac n d) g(n)=sum_{d|n}mu(frac n d) lfloor frac N n floor^2 ]

[ans=sum_{d=1}^N dsum_{d|n}mu(frac n d)lfloorfrac N n floor^2 ]

二项式反演：