省选的数论

1.(n=sum_{d|n}phi(d))的证明：
(d)有(phi(d))个与之互质的数，分别是(p1,p2cdots)，(a=frac n d imes p_x)满足(gcd(a,n)=frac n d)且能够取遍每一个(gcd(x,n)=frac n d)的数，显然每个数只有一中固定表示法，且一定会被取到，证毕。

2.二次探测定理的疑惑的证明：
(x^2-1=(x+1)(x-1))是(p)的倍数，当(p)是质数，那么(p)不可分割，p这个因子要么在((x+1))中，要么在((x-1))中，即(x=pm1)，而如果(p)不是质数那么(p)可能分散在两部分中，于是x可能等于其他值，证毕。

3.约数函数有关：
约数和的求法:线性筛。例子
约数个数和的求法：线性筛。

约数个数和的性质：
(1.) $$sigma(i imes j)=sum_{x|i}sum_{y|j} [gcd(x,y)=1]$$
证明：对于(i imes j)的一个约数，如果某一个质因子次数(c_z)大于(c_i)的那就令(c_x=0)，(c_y)为(c_z-c_i)，否则(c_x)为(c_z)，(c_y=0)这样可以使约数与互质的(x,y)一一对应。
(2.) $$sum_{i=1}^n lfloor frac n i floor=sum_{i=1}^n sigma(i)$$
（算每个数作为约数的贡献）

4.欧拉函数：

[varphi(n)=n imes prod_{p|n}frac{p-1}{p} ]

[varphi(p^k)=p^k-p^{k-1} ]

[gcd(m,n)=1,varphi(m imes n)=varphi(m) imes varphi(n) ]

[sum_{gcd(i,n)=1}i=frac{varphi(n) imes n}{2} ]

[sum_{d|n}varphi(d)=n ]

5.自适应辛普森法：
用来求积分。
对于二次函数(f(x),int_a^b f(x)dx=frac{[f(a)+f(b)+4 imes f(frac{a+b}{2})] imes (b-a)}{6})
然后把所求函数近似看成一段段二次函数，如果把([l,r])看成二次函数的结果与把([l,mid][mid+1,r])分别看成二次函数的结果相同，那我们就取近似值，否则二分。

4.狄利克雷卷积&杜教筛：
(1.)狄利克雷卷积:

[(f*~g)(i)=sum_{d|i}g(d) imes f(frac i d) ]

(2.)由上式推导可得：(sum_{i=1}^n(f*~g)(i))

[=sum_{i=1}^nsum_{d|i}g(d) imes f(frac i d) ]

[=sum_{d=1}^nsum_{i=1}^{lfloor frac n d floor}g(d) imes f(i) ]

[=sum_{d=1}^n g(d)sum_{i=1}^{lfloor frac n d floor} imes f(i) ]

[=sum_{d=1}^n g(d)S_f(lfloor frac n d floor) ]

(3.)由此可得：(g(1)S_f(n)=)

[=sum_{d=1}^ng(d)S(lfloor frac n d floor)-sum_{d=2}^ng(d)S_f(lfloor frac n d floor) ]

[=sum_{i=1}^n(f*~g)(i)-sum_{d=2}^ng(d)S_f(lfloor frac n d floor) ]

(4.)求函数(f(x))的前缀和，只需构造出函数(g(x))使得(S_g(x))与((f*~g))都好求即可利用递归和整除分块(O(n^{frac 3 4}))求出(S_f(n))
(5.)优化：

• 线性筛出(1-n^{frac 2 3})使复杂度若递归参数小于(n^{frac 2 3})则返回预处理的值，是复杂度降到(O(n^{frac 2 3}))
• (Hash\_table)记忆化已经求出的值，需要开到(T imes frac n N)

(6.)常见函数：

[(mu*~I)(x)=e(x) ]

[(varphi*~I)(x)=id(x) ]

[(mu*~id)(x)=varphi(x) ]

在(mod)质数意义下(1)~(n-1)逆元互不相同。