http://codeforces.com/problemset/problem/123/E
题目翻译:（翻译来自: http://www.cogs.pw/cogs/problem/problem.php?pid=1734）
一个迷宫是一棵树（即一张无向图，其中任意两点之间仅有一条路径）。迷宫的起点和终点都按照某种概率随机选取。人们会在迷宫中用深度优先搜索的方法搜寻终点。如果有许多条可能的路径，会等概率地选取一条。考虑如下伪代码：
DFS(x)
if x == exit vertex then
finish search
flag[x] <- TRUE
random shuffle the vertices' order in V(x) // here all permutations have equal probability to be chosen
for i <- 1 to length[V] do
if flag[V[i]] = FALSE then
count++;
DFS(y);
count++;
V(x)是和x相邻的顶点列表。最初flag数组的值均为false。第一次DFS的参数是迷宫的入口节点。当搜索终止，变量count的值就是在迷宫中走的步数。
你的任务是计算在迷宫中从入口到出口，所走的期望步数。
题解：
首先一看知道题就知道应该去求每个点对答案的贡献
现在考虑如何求出这个贡献。
我们发现如果我们单独枚举一个点，那么这个点的情况一共有三种:
1.必定被经过
2.必定不被经过
3.不一定被经过
这样就不好统计了，所以我们先转换一下思维
怎样才能准确的找出经过的路径？ 最直接的方法就是暴力枚举所有的起点和终点
这样路径就唯一确定了，直接在这个图中求一边期望，然后加权求和
可是 n <= 10^5，暴力肯定无法通过，但是有值得我们借鉴的思维
枚举端点
我们可以枚举终点，这样情况就分成了。。。还是三种:
1.起点就是终点，贡献为0，该情况可以忽略
2.起点在以终点为根的子树中
3.起点不在以终点为根的子树中
对于第二种情况，我们可以直接计算贡献，即(子树的节点数目*子树中有一个点作为入口的概率)
对于第三种情况，我们也可以直接计算的，即(除去子树后树的节点数目*除去子树后树中存在入口的概率)
为什么能这么计算呢？
我们考虑一下，如果根的某一个儿子是入口，那么贡献应为0.5*siz[v]*2
我们发现，如果一条路径经过n个点两次后到达出口，那么对答案的贡献即为(n<<1)
我们可以这么想，把题目中给的伪代码改动一下，那么每次到达一个点++count,退出一个点++count
最后再--count，这样就是这条路径对答案的贡献。
所以，我们直接刨去到达终点时对答案做出的贡献，那么就可以得到刚才的式子了
我们考虑进行推广，发现所有的点都满足这个式子
所以我们可以直接对若干个点直接加和，那么就是上面提到的计算方式了
O(n)
Code
1 #include <cstdio> 2 #include <cstring> 3 #include <algorithm> 4 using namespace std; 5 typedef long long ll; 6 inline void read(int &x){ 7 x=0;char ch;bool flag = false; 8 while(ch=getchar(),ch<'!');if(ch == '-') ch=getchar(),flag = true; 9 while(x=10*x+ch-'0',ch=getchar(),ch>'!');if(flag) x=-x; 10 } 11 inline int cat_max(const int &a,const int &b){return a>b ? a:b;} 12 inline int cat_min(const int &a,const int &b){return a<b ? a:b;} 13 const int maxn = 100010; 14 struct Edge{ 15 int to,next; 16 }G[maxn<<1]; 17 int head[maxn],cnt; 18 void add(int u,int v){ 19 G[++cnt].to = v; 20 G[cnt].next = head[u]; 21 head[u] = cnt; 22 } 23 int siz[maxn],ex[maxn],en[maxn]; 24 int fa[maxn],n; 25 ll sn=0,sx=0,ans = 0; 26 #define v G[i].to 27 void dfs(int u){ 28 siz[u] = 1; 29 for(int i = head[u];i;i=G[i].next){ 30 if(v == fa[u]) continue; 31 fa[v] = u; 32 dfs(v); 33 siz[u] += siz[v]; 34 en[u] += en[v]; 35 ans += 1LL*ex[u]*en[v]*siz[v]; 36 }ans += 1LL*ex[u]*(sn - en[u])*(n - siz[u]); 37 } 38 #undef v 39 int main(){ 40 read(n); 41 for(int i=1,u,v;i<n;++i){ 42 read(u);read(v); 43 add(u,v);add(v,u); 44 } 45 for(int i=1;i<=n;++i){ 46 read(en[i]),read(ex[i]); 47 sn += en[i];sx += ex[i]; 48 }dfs(1); 49 printf("%.60lf ",(double)ans/(1.0*sn*sx) ); 50 getchar();getchar(); 51 return 0; 52 }