LeetCode--素数（质数） Prime Number of Set Bits in Binary Representation

Prime Number of Set Bits in Binary Representation

求某个数是否是素数（一个数只有两个因数1和它本身，则是素数。1不是素数）：

 法一：暴力法

就是从2开始到n - 1依次判断，n % i == 0 则不是素数

法二：筛选  

一个数如果是合数，那么可以因式分解为两个数，一个大于等于sqrt(n), 另一个小于等于sqrt(n)

那么可以一直判断到sqrt(n)处，则省去sqrt(n) + 1 到 n - 1范围内的判断。

法三：

一个定理：大于等于5的素数，一定在6的倍数左右紧邻，5 7 11 13 17 19 23 29 31 37，但是和6的倍数紧邻的不一定就是质数，这个得进行判断

证明：令x≥1，将大于等于5的自然数表示如下：

······ 6x-1，6x，6x+1，6x+2，6x+3，6x+4，6x+5，6(x+1），6(x+1)+1 ······

可以看到，不在6的倍数两侧，即6x两侧的数为6x+2，6x+3，6x+4，由于2(3x+1)，3(2x+1)，2(3x+2)，所以它们一定不是素数，再除去6x本身，显然，素数要出现只可能出现在6x的相邻两侧。这里有个题外话，关于孪生素数，有兴趣的道友可以再另行了解一下，由于与我们主题无关，暂且跳过。这里要注意的一点是，在6的倍数相邻两侧并不是一定就是质数。

此时判断质数可以6个为单元快进，即将循环中i++步长加大为6，加快判断速度，原因是，假如要判定的数为n，则n必定是6x-1或6x+1的形式，对于循环中6i-1，6i，6i+1,6i+2，6i+3，6i+4，其中如果n能被6i，6i+2，6i+4整除，则n至少得是一个偶数，但是6x-1或6x+1的形式明显是一个奇数，故不成立；另外，如果n能被6i+3整除，则n至少能被3整除，但是6x能被3整除，故6x-1或6x+1（即n）不可能被3整除，故不成立。综上，循环中只需要考虑6i-1和6i+1的情况，即循环的步长可以定为6，每次判断循环变量k和k+2的情况即可

 

public int isPrime(int num){
　　　　　　//两个较小数另外处理  
        if(num == 1) return 0;
        if(num == 2 || num == 3) return 1;
　　　　　　//不在6的倍数两侧的一定不是质数  
        if(num % 6 != 1 && num % 6 != 5) return 0;
        num = (int)Math.sqrt(num);
　　　　 //在6的倍数两侧的也可能不是质数  
        for(int i = 5; i < num; i+=6){
            if(num % i == 0 || num %(i + 2) == 0){
                return 0;
            }
        }
　　　　//排除所有，剩余的是质数  
        return 1;
    }

　　

 

法四：筛选法  求1 - N 内素数的个数

1.用一个N+ 1的boolean数组prime表示每个数，然后令奇数位置全部=false，偶数位置全部=true

2.然后进行判断，

  　i=3; 由于prime[3]=true, 把prime[6], [9], [12], [15], [18], [21], [24], [27], [30]标为false.
     i=4; 由于prime[4]=false,不在继续筛法步骤。
     i=5; 由于prime[5]=true, 把prime[10],[15],[20],[25],[30]标为false.
     i=6>sqrt(30)算法结束。

 

 

（优化）法五：只表示奇数

1.用一个boolean数组prime，N/2大小，用来表示3,5,7,9,11,13,15,17,19......等的奇数（因为偶数不可能成为素数，2除外）

　　均置为prime[i] = true

2.然后进行判断，

i = 0时，由于prime[0]=true（3）; 则将数组内 i + (2 * i + 3) * j < sqrt(N) 的数置为false（为合数），  prime[3] = （9） prime[6] = （15）, prime[9] = （21）...

i = 1时，prime[0]=true（5）; 则将数组内 i + (2 * i + 3) * j < sqrt(N) 的数置为false（为合数）， prime[6] = （15）, prime[11] = （25）...

......

i = num时，由于 2 * i + 3 > sqrt(N)，所以算法结束，返回为false的值即可