石子合并问题 & GarsiaWachs算法

目录

• 引入
• 一个较为朴素的算法
• GarsiaWachs算法
• 结

引入

在一个操场上摆放着一排 \(N\) 堆石子。现要将石子有次序地合并成一堆。规定每次只能选相邻的 \(2\) 堆石子合并成新的一堆，并将新的一堆石子数记为该次合并的得分。
试设计一个算法，计算出将 \(N\) 堆石子合并成一堆的最小得分。
数据范围 \(n \le 4e4\)

洛谷例题：
数据较小可以用区间DP过：P1880 [NOI1995] 石子合并
数据较强可以用GarsiaWachs算法过：P5569 [SDOI2008]石子合并

一个较为朴素的算法

不是暴力

按照区间DP的思路来做

设 \(f_{i, j}\) 表示区间 \([i, j]\) 合并的最小得分，枚举一个端点 \(k\)，那么有转移方程：（其中 \(a\) 数组是预处理后的前缀和）

\[f_{i, j} = \min \{ f_{i, j}, f_{i, k} + f_{k + 1, j} + a_j - a_{i - 1} \} \]

注意 \(i\) 要倒序枚举，\(j\) 要正序枚举

答案就是 \(f_{1, n}\)

时间复杂度： \(O(n^3)\)；空间复杂度：\(O(n^2)\)

Code

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl

using namespace std;
const int MAXN = 22335;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;

int n;
int a[MAXN];
int f[MAXN][MAXN];

int read(){
    int s = 0, f = 0;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch))  f |= (ch == '-'), ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
    return f ? -s : s;
}

int main()
{
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a[i] = read() + a[i - 1];
    for(int i = n; i >= 1; --i){
	for(int j = i; j <= n; ++j){
            if(i == j) continue;
	    f[i][j] = INF;
	    for(int k = i; k < j; ++k) f[i][j] = min(f[i][j], f[i][k] + f[k + 1][j] + a[j] - a[i - 1]);
	}
    }
    printf("%d\n", f[1][n]);
    return 0;
}

GarsiaWachs算法

发现数据范围太大了，上面的算法已经不能满足我们的需求，这里有一种优化算法，专门用来解决石子问题

每次操作，从前向后找一个最小的 \(k\)，使其满足 \(a_{k - 1} \le a_{k + 1}\)，然后合并 \(a_{k - 1}\) 和 \(a_k\)
从 \(k\) 开始向前找到第一个 \(j\) 使得 \(a_j > a_{k - 1} + a_k\)，并将合并后的新值插入位置 \(j\) 后面
进行 \(n - 1\) 次结束，在合并过程中统计答案即可

时间复杂度：\(O(n^2)\)；空间复杂度：\(O(n)\)

正确性证明：作为一个OIer，会应用就好啦，其实是我不会

那如果求最大分数呢？
把权值取个相反数不就得了，输出答案的时候再取回来

那如果把石子围成一圈呢？
嗯……我没想到有什么方式能够转化，但经过实验，断环成链的方法是不行的，（除非你把所有的断环成链情况都跑一边，但那样复杂度就上去了）

Code

/*
Work by: Suzt_ilymics
Knowledge: ??
Time: O(??)
*/
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#define LL long long
#define orz cout<<"lkp AK IOI!"<<endl

using namespace std;
const int MAXN = 1e5+5;
const int INF = 1e9+7;
const int mod = 1e9+7;

LL n, ans = 0;
vector<int> a;

int read(){
    int s = 0, f = 0;
    char ch = getchar();
    while(!isdigit(ch))  f |= (ch == '-'), ch = getchar();
    while(isdigit(ch)) s = (s << 1) + (s << 3) + ch - '0' , ch = getchar();
    return f ? -s : s;
}

int merge(){//GarsiaWachs算法
    int k = a.size() - 2;
    for(int i = 0; i < a.size() - 2; ++i)
    	if(a[i] <= a[i + 2]){ k = i; break;}
    int sum = a[k] + a[k + 1];
    a.erase(a.begin() + k);
    a.erase(a.begin() + k);
    int inst = -1;
    for(int i = k - 1; i >= 0; --i)
    	if(a[i] > sum){ inst = i; break; }
    a.insert(a.begin() + inst + 1, sum);
    return sum;
}

int main()
{
    n = read();
    for(int i = 1; i <= n; ++i) a.push_back(read());
    for(int i = 1; i < n; ++i) ans += merge();
    printf("%lld", ans);
    return 0;
}

结

放两张关于GarsiaWachs算法的图（反正我没看懂，扔给你们了