扩展欧几里得算法

前置知识

斐蜀定理（贝祖定理）

写在前面

鸣谢：扩展欧几里得算法——exgcd

Q：啥叫扩展欧几里得啊

A：扩展欧几里得算法是用来在已知 (a, b) 求解一组 (x, y) ，使他们满足斐蜀等式： (ax + by = gcd(a, b) = d)

尝试搞一下它

先考虑一下比较简单的特殊情况，如果 (b = 0)，那么 (gcd(a, b) = a)，并显然存在一组解 (x = 1, y = 0)

对于一般情况，设 (ax + by = gcd(a, b))，

根据欧几里得算法， (gcd(a, b) = gcd(b, a mod b))

肯定存在式子 (bx_2 + (a mod b)y_2 = gcd(b, a mod b))

[ herefore ax_1 + by_1 = bx_2 + (a !!mod b)y_2 ]

[egin{alignedat}{3} ecause ax_1 + by_1 & = bx_2 + (a - a div b imes b)y_2 \ & = bx_2 + ay_2 - a div b imes b imes y_2 \ & = ay_2 + b(x_2 - a div b imes y_2) end{alignedat}]

[ herefore x_1 = y_2 , y_1 = x_2 - a div b imes y_2 ]

继续递推下去就好啦~

实现代码：

int exgcd(int a, int b, long long &x, long long &y)
{
    if(b == 0) return x = 1, y = 0, a;
    int d = exgcd(b, a % b, y, x);//d的值实际上就是gcd(a,b)，如果不需要的话可以不求
    return y -= a / b * x, d;
}

不过毕竟有扩欧这种帅气的名字，可不能只干这点活

它还可以求逆元：

设 (x) 为 (a) 在模 (p) 意义下的逆元，那么满足式子：

[ax equiv 1 ]

那么有：

[ax + my = 1 ]

然后用 (exgcd) 搞出 (x) 即可（这就是为啥 (a) 和 (m) 一定要互质才能使得 (a) 在模 (m) 意义下有逆元）

实现代码：

long long inv(long long a,long long m)
{
    long long x,y;
    long long d = exgcd(a, m, x, y);
    return d == 1 ? (x + m) % m : -1 ;//不互质就没有逆元
}

(The) (end.)