Bzoj3675 [Apio2014]序列分割

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Description

小H最近迷上了一个分隔序列的游戏。在这个游戏里，小H需要将一个长度为n的非负整数序列分割成k+1个非空的子序列。为了得到k+1个子序列，小H需要重复k次以下的步骤：

1.小H首先选择一个长度超过1的序列（一开始小H只有一个长度为n的序列——也就是一开始得到的整个序列）；

2.选择一个位置，并通过这个位置将这个序列分割成连续的两个非空的新序列。

每次进行上述步骤之后，小H将会得到一定的分数。这个分数为两个新序列中元素和的乘积。小H希望选择一种最佳的分割方式，使得k轮之后，小H的总得分最大。

Input

输入第一行包含两个整数n，k（k+1≤n）。

第二行包含n个非负整数a1，a2，...，an（0≤ai≤10^4），表示一开始小H得到的序列。

Output

输出第一行包含一个整数，为小H可以得到的最大分数。

Sample Input

7 3
4 1 3 4 0 2 3

Sample Output

108

HINT

【样例说明】

在样例中，小H可以通过如下3轮操作得到108分：

1．-开始小H有一个序列(4，1，3，4，0，2，3)。小H选择在第1个数之后的位置

将序列分成两部分，并得到4×(1+3+4+0+2+3)=52分。

2．这一轮开始时小H有两个序列：(4)，(1，3，4，0，2，3)。小H选择在第3个数

字之后的位置将第二个序列分成两部分，并得到(1+3)×(4+0+2+

3)=36分。

3．这一轮开始时小H有三个序列：(4)，(1，3)，(4，0，2，3)。小H选择在第5个

数字之后的位置将第三个序列分成两部分，并得到(4+0)×(2+3)=

20分。

经过上述三轮操作，小H将会得到四个子序列：(4)，(1，3)，(4，0)，(2，3)并总共得到52+36+20=108分。

【数据规模与评分】

：数据满足2≤n≤100000,1≤k≤min(n -1，200)。

Source

动态规划斜率优化DP

首先需要发现一个性质：

　　$ a*(b+c)+b*c = ab+ac+bc $

　　$ (a+b)*c+a*b = ab+ac+bc $

这意味着最优得分和切割顺序无关。

那么我们可以从左往右依次切，这显然是一个可以DP的问题。

斜率优化即可。

刚开始推的是$ f[i][k]=max{f[j][k-1]+(sum[n]-sum[i])*(sum[i]-sum[j])} $

这样跑出来26+s，怎么这么慢啊？难道是这样写方程不适合斜率优化？（得多蠢才能得出这个结论）

于是换成了 $ f[i][k]=max{f[j][k-1]+(sum[i]-sum[j])*sum[j]} $

这样跑出来30+s，喵喵喵？

默默常数优化，除式拆成乘式之类的，卡到了13s

一本满足（并不）

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 #define LL long long
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=100010;
 9 int read(){
10     int x=0,f=1;char ch=getchar();
11     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
12     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 int n,K;
16 int a[mxn],cnt=0;
17 int q[mxn],hd,tl;
18 LL smm[mxn];
19 LL f[mxn],g[mxn];
20 double calc(int j,int k){
21         return (g[j]-g[k]-(LL)smm[n]*(smm[j]-smm[k]))/(double)(smm[k]-smm[j]);
22 }
23 int main(){
24 //    freopen("in.txt","r",stdin);
25     int i,j;
26     n=read();K=read();
27     for(i=1;i<=n;i++){a[i]=read();if(a[i])a[++cnt]=a[i];}
28     n=cnt;K=min(n-1,K);
29     for(i=1;i<=n;i++)smm[i]=smm[i-1]+a[i];
30     for(i=1;i<=K;i++){
31         swap(f,g);
32         hd=1;tl=0;
33         for(j=1;j<=n;j++){
34             while(hd<tl && calc(q[tl-1],q[tl])>calc(q[tl],j-1))tl--;
35             q[++tl]=j-1;
36             while(hd<tl && calc(q[hd],q[hd+1])<smm[j])hd++;
37             int t=q[hd];
38             if(hd<=tl)f[j]=g[t]+(LL)smm[n]*smm[j]-smm[j]*smm[j]-smm[n]*smm[t]+smm[j]*smm[t];
39         }
40     }
41     LL ans=0;
42     for(i=1;i<=n;i++)ans=max(ans,f[i]);
43     printf("%lld
",ans);
44     return 0;
45 }

初号机

完全体：

 1 /*by SilverN*/
 2 #include<iostream>
 3 #include<algorithm>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cstring>
 6 #define LL long long
 7 using namespace std;
 8 const int mxn=100015;
 9 int read(){
10     int x=0,f=1;char ch=getchar();
11     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
12     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
13     return x*f;
14 }
15 int n,K;
16 int a[mxn],cnt=0;
17 int q[mxn],hd,tl;
18 LL smm[mxn],smm2[mxn];
19 LL f[mxn],g[mxn];
20 inline LL calc_up(int j,int k){
21         return smm2[k]-smm2[j]+g[j]-g[k];
22 }
23 inline LL calc_down(int j,int k){
24         return smm[k]-smm[j];
25 }
26 int main(){
27 //    freopen("in.txt","r",stdin);
28     int i,j;
29     n=read();K=read();
30     for(i=1;i<=n;i++){a[i]=read();if(a[i])a[++cnt]=a[i];}
31     n=cnt;
32     for(i=1;i<=n;i++)smm[i]=smm[i-1]+a[i],smm2[i]=smm[i]*smm[i];
33     for(i=1;i<=K;i++){
34         swap(f,g);
35         hd=1;tl=0;
36         for(j=i;j<=n;j++){
37             while(hd<tl && calc_up(q[tl-1],q[tl])*calc_down(q[tl],j-1)>=calc_up(q[tl],j-1)*calc_down(q[tl-1],q[tl]))tl--;
38             q[++tl]=j-1;
39             while(hd<tl && calc_up(q[hd],q[hd+1])<smm[j]*calc_down(q[hd],q[hd+1]))hd++;
40             int t=q[hd];
41             f[j]=g[t]+smm[t]*((LL)smm[j]-smm[t]);
42         }
43     }
44     printf("%lld
",f[n]);
45     return 0;
46 }