Bzoj3944 Sum

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Description

Input

一共T+1行

第1行为数据组数T(T<=10)

第2~T+1行每行一个非负整数N，代表一组询问

Output

一共T行，每行两个用空格分隔的数ans1,ans2

Sample Input

6
1
2
8
13
30
2333

Sample Output

1 1
2 0
22 -2
58 -3
278 -3
1655470 2

HINT

Source

数学问题 dirichlet卷积莫比乌斯反演杜教筛

目标函数： $ F(n)=sum_{i=1}^{n} f(i) $

前缀和函数：$ G(n)=sum_{i=1}^{n} g(i) $

卷积函数：$g(x)=f(i)*1=sum_{i|x} f(i)$

用这些就可以搞事情了：

$ G(n)= sum_{i=1}^{n} g(i)$

$=sum_{i=1}^{n} sum_{j|i} f(j) $

$=sum_{j=1}^{n} sum_{i=1}^{lfloor frac{n}{j} floor} f(i) $

$=sum_{j=1}^{n} F(lfloor frac{n}{j} floor)$

我们要求的是$F(n)$，也就是$F(lfloor frac{n}{1} floor)$

把原式移项得到$ F(n)=G(n)-sum_{j=2}^{n} F(lfloor frac{n}{j} floor) $

后面那些F可以分块递归算出。

求 $ mu $ 的时候，那个卷积卷出来是e（第一项为1，后面为0），即$ G(n)=1 $

求 $ varphi $的时候，那个卷积卷出来是id（第i项为i），即$G(n)=n*(n+1)/2$

预处理前500w项$ varphi $ 和 $ mu $ 的前缀和作为递归边界，就可以愉快地递归计算了。

若$G(n)$可以在$O(1)$时间内算出，则$F(n)$可以在$O(n^{frac{3}{4}})$的时间内算出

如果预处理前$O(n^{frac{2}{3}})$的部分，则$F(n)$可以在$O(n^{frac{2}{3}})$的时间内算出

↑后面那一串F，分块计算的复杂度是 $ O(sqrt{frac{n}{k}}) $，递归下去用主定理之类的分析一波即可得出总复杂度（口胡，其实并没有尝试过）

 1 #include<iostream>
 2 #include<algorithm>
 3 #include<cstring>
 4 #include<cstdio>
 5 #include<cmath>
 6 #include<map>
 7 #define LL long long
 8 using namespace std;
 9 const int mxn=5000010;
10 LL read(){
11     LL x=0,f=1;char ch=getchar();
12     while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
13     while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10-'0'+ch;ch=getchar();}
14     return x*f;
15 }
16 int pri[mxn],cnt=0;
17 LL phi[mxn],mu[mxn];
18 void init(){
19     mu[1]=1;phi[1]=1;
20     for(int i=2;i<mxn;i++){
21         if(!phi[i]){
22             pri[++cnt]=i; phi[i]=i-1; mu[i]=-1;
23         }
24         for(int j=1;j<=cnt && (LL)pri[j]*i<mxn;j++){
25             int tmp=pri[j]*i;
26             if(i%pri[j]==0){
27                 mu[tmp]=0; phi[tmp]=phi[i]*pri[j]; break;
28             }
29             mu[tmp]=-mu[i];
30             phi[tmp]=phi[i]*(pri[j]-1);
31         }
32     }
33     for(int i=2;i<mxn;i++){
34         phi[i]+=phi[i-1];
35         mu[i]+=mu[i-1];
36     }
37     return;
38 }
39 int n;
40 map<int,LL>mp,mump;
41 LL calc_phi(LL x){
42     if(x<mxn)return phi[x];
43     if(mp.count(x))return mp[x];
44     LL res=(LL)x*(x+1)>>1;
45     for(LL i=2,pos;i<=x;i=pos+1){
46         LL y=x/i;
47         pos=x/y;
48         res-=(pos-i+1)*calc_phi(y);
49     }
50     mp[x]=res;
51     return res;
52 }
53 LL calc_mu(LL x){
54     if(x<mxn)return mu[x];
55     if(mump.count(x))return mump[x];
56     LL res=1;
57     for(LL i=2,pos;i<=x;i=pos+1){
58         LL y=x/i;
59         pos=x/y;
60         res-=(pos-i+1)*calc_mu(y);
61     }
62     mump[x]=res;
63     return res;
64 }
65 int main(){
66     int i,j;
67     init();
68     int T=read();
69     while(T--){
70         n=read();
71         LL ans1=calc_phi(n);
72         LL ans2=calc_mu(n);
73         printf("%lld %lld
",ans1,ans2);
74     }
75     return 0;
76 }

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