Bzoj3143 [Hnoi2013]游走

Time Limit: 10 Sec  Memory Limit: 128 MB
Submit: 2816  Solved: 1207

Description

一个无向连通图，顶点从1编号到N，边从1编号到M。 
小Z在该图上进行随机游走，初始时小Z在1号顶点，每一步小Z以相等的概率随机选 择当前顶点的某条边，沿着这条边走到下一个顶点，获得等于这条边的编号的分数。当小Z 到达N号顶点时游走结束，总分为所有获得的分数之和。 
现在，请你对这M条边进行编号，使得小Z获得的总分的期望值最小。

Input

第一行是正整数N和M，分别表示该图的顶点数 和边数，接下来M行每行是整数u，v(1≤u,v≤N)，表示顶点u与顶点v之间存在一条边。 输入保证30%的数据满足N≤10，100%的数据满足2≤N≤500且是一个无向简单连通图。

Output

仅包含一个实数，表示最小的期望值，保留3位小数。

Sample Input

3 3
2 3
1 2
1 3

Sample Output

3.333

HINT

边(1,2)编号为1，边(1,3)编号2，边(2,3)编号为3。

Source

非官方数据

数学问题 数学期望 高斯消元+贪心

使得总分期望值最小，显然需要求出每条边的期望被经过次数，然后给次数最多的边标上最小的编号。

一条边(x,y)的期望被经过次数等于点x的经过次数*从x到y的概率(1/出度) +点y的经过次数*从y到x的概率

那么现在只需要求每个点的经过次数就可以了

$P[x]=sum_{i=1,i!=x}^{n}P[i]*k[i][x]$  $k[i][x]=1.0/outdeg[i]$

特别地，P[1]等于那一串再加一个1，因为点1一开始就被经过了一次

第n个点进去就出不来，可以忽视

↑忽视不代表可以直接删掉第n行第n列，因为其他向量的计算还要用到这部分。

第57、58行算出度，调用了先前的u和v，WAWAWA

/*by SilverN*/
#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<vector>
using namespace std;
const int mxn=505;
int read(){
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0' && ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
struct edge{
    int x,y;
}e[mxn*mxn];
int n,m;
double ans=0;
double f[mxn][mxn];
void Gauss(){
    int i,j,k;
    for(i=1;i<=n;i++){
        int p=i;
        for(j=i+1;j<=n;j++)if(fabs(f[j][i])>fabs(f[p][i]))p=j;
        if(p!=i)
            for(j=i;j<=n+1;j++)swap(f[p][j],f[i][j]);
        for(j=i+1;j<=n;j++){
            double x=f[j][i]/f[i][i];
            for(k=i;k<=n+1;k++){
                f[j][k]-=f[i][k]*x;
            }
        }
    }
    for(i=n;i;i--){
        for(j=i+1;j<=n;j++)
            f[i][n+1]-=f[i][j]*f[j][n+1];
        f[i][n+1]/=f[i][i]; 
//        printf("i:%.3f
",f[i][n+1]);
    }
    return;
}
double k[mxn][mxn];//点到点转移的概率 
double g[mxn*mxn];//边被使用的期望次数 
int out[mxn];//出度
int cmp(double a,double b){return a>b;}
int main(){
    int i,j,u,v;
    n=read();m=read();
    for(i=1;i<=m;i++){
        u=read();v=read();
        e[i].x=u;e[i].y=v;
        ++out[v];++out[u];
    }
    for(i=1;i<=m;i++){
        k[e[i].x][e[i].y]+=(double)1/out[e[i].x];
        k[e[i].y][e[i].x]+=(double)1/out[e[i].y];
    }
    f[1][n+1]=-1;f[n][n]=1;f[n][n+1]=0;
    for(i=1;i<n;i++){
        for(j=1;j<=n;j++){
            f[i][j]=k[j][i];
        }
        f[i][i]-=1;
    }
/*    for(i=1;i<=n;i++){
        for(j=1;j<=n+1;j++)
            printf("%.3f  ",f[i][j]);
        printf("
");
    }*/
    Gauss();
    for(i=1;i<=m;i++){
        g[i]=f[e[i].x][n+1]/out[e[i].x]+f[e[i].y][n+1]/out[e[i].y];
    }
    sort(g+1,g+m+1,cmp);
    for(i=1;i<=m;i++)ans+=g[i]*i;
    printf("%.3f
",ans);
    return 0;
}