bzoj1010 玩具装箱

Description

　　P教授要去看奥运，但是他舍不下他的玩具，于是他决定把所有的玩具运到北京。他使用自己的压缩器进行压缩，其可以将任意物品变成一堆，再放到一种特殊的一维容器中。P教授有编号为1...N的N件玩具，第i件玩具经过压缩后变成一维长度为Ci.为了方便整理，P教授要求在一个一维容器中的玩具编号是连续的。同时如果一个一维容器中有多个玩具，那么两件玩具之间要加入一个单位长度的填充物，形式地说如果将第i件玩具到第j个玩具放到一个容器中，那么容器的长度将为 x=j-i+Sigma(Ck) i<=K<=j 制作容器的费用与容器的长度有关，根据教授研究，如果容器长度为x,其制作费用为(X-L)^2.其中L是一个常量。P教授不关心容器的数目，他可以制作出任意长度的容器，甚至超过L。但他希望费用最小.

Input

　　第一行输入两个整数N，L.接下来N行输入Ci.1<=N<=50000,1<=L,Ci<=10^7

Output

　　输出最小费用

Sample Input

5 4
3
4
2
1
4

Sample Output

1

 

推式子斜率优化 c为玩具大小前缀和

dp[i] = dp[j-1] + (c[i] - c[j-1] + i - j - L)² 

=>  dp[i] = dp[j-1] + (c[i] + i - L)² + (c[j-1] + j)² - 2 * (c[i] + i - L) * (c[j-1] + j)

=>  dp[i] - (c[i] + i - L)²  = dp[j-1] + (c[j-1] + j)² - 2 * (c[i] + i - L) * (c[j-1] + j)

=>  2 * (c[i] + i - L) * (c[j-1] + j) + dp[i] - (c[i] + i - L)²  = dp[j-1] + (c[j-1] + j)²

 

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cstdio>
#include<cmath>
using namespace std;
const int maxn=50000+10;
long long n,L,c[maxn],dp[maxn],zz[maxn],e=0,pos;
long long xx[maxn],yy[maxn];
 
long long aa;char cc;
long long read() {
    aa=0;cc=getchar();
    while(cc<'0'||cc>'9') cc=getchar();
    while(cc>='0'&&cc<='9') aa=aa*10+cc-'0',cc=getchar();
    return aa;
}
 
int main() {
    n=read();L=read();
    for(int i=1;i<=n;++i) {
        c[i]=read();c[i]+=c[i-1];
    }
    dp[1]=(c[1]-L)*(c[1]-L);zz[1]=1;e++;pos++;
    xx[1]=1+c[0];yy[1]=(1+c[0])*(1+c[0])+dp[0];
    long long a;
    for(int i=2;i<=n;++i) {
        a=2*(c[i]+i-L);
        while(pos<e&&yy[zz[pos+1]]-a*xx[zz[pos+1]]<yy[zz[pos]]-a*xx[zz[pos]]) pos++;
        dp[i]=yy[zz[pos]]-a*xx[zz[pos]]+(c[i]+i-L)*(c[i]+i-L);
        xx[i]=i+c[i-1];yy[i]=(i+c[i-1])*(i+c[i-1])+dp[i-1];
        while(e>1&&(double)(yy[i]-yy[zz[e]])*(xx[zz[e]]-xx[zz[e-1]])<(double)(yy[zz[e]]-yy[zz[e-1]])*(xx[i]-xx[zz[e]])) e--,pos=min(pos,e);
        zz[++e]=i;
        dp[i]=min(dp[i],(c[i]-c[i-1]-L)*(c[i]-c[i-1]-L)+dp[i-1]);
    }
    printf("%lld",dp[n]);
    return 0;
}