树的重心

定义(百度百科)

　　树的重心也叫树的质心。找到一个点,其所有的子树中最大的子树节点数最少,那么这个点就是这棵树的重心,删去重心后，生成的多棵树尽可能平衡。换句话说，删除这个点后最大连通块（一定是树）的结点数最小。

性质

1. 树中所有点到某个点的距离和中，到重心的距离和是最小的，如果有两个距离和，他们的距离和一样。
2. 把两棵树通过一条边相连，新的树的重心在原来两棵树重心的连线上。
3. 一棵树添加或者删除一个节点，树的重心最多只移动一条边的位置。
4. 一棵树最多有两个重心，且相邻。

算法流程

　　和树的最大独立问题类似，先任选一个结点作为根节点，把无根树变成有根树，然后设d(i)表示以i为根的子树的结点的个数。不难发现d(i)=∑d(j)+1，j∈s（i）。s（i）为i结点的所有儿子结点的编号的集合。

　　程序也十分简单：只需要DFS一次，在无根树有根数的同时计算即可，连记忆化都不需要——因为本来就没有重复计算。

　　那么，删除结点i后，最大的连通块有多少个呢？结点i的子树中最大有max{d（j）}个结点，i的“上方子树”中有n-d（i）个结点，

    

　　如图9-13。这样，在动态规划的过程中就可以找出树的重心了。 

代码

#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#define FORa(i,s,e) for(int i=s;i<=e;i++)
#define FORs(i,s,e) for(int i=s;i>=e;i--)

using namespace std;
const int N=1000,INF=2147483647;
int n,num_edge,ans_pos,ans_cnt=INF,head[N+1];
struct Edge{
    int next,to;
}edge[2*N];
inline void Add_edge(int from,int to)
{
    edge[++num_edge]=(Edge){head[from],to},head[from]=num_edge;
}
inline int max(int fa,int fb){return fa>fb?fa:fb;}

inline int Dfs(int u,int fa)
{
    int max_tree=0,pre_tree=1,psize;
    for(int i=head[u];i;i=edge[i].next)
        if(edge[i].to!=fa) psize=Dfs(edge[i].to,u),pre_tree+=psize,max_tree=max(max_tree,psize);
    max_tree=max(max_tree,n-pre_tree);
    if(max_tree<ans_cnt)
    {
        ans_cnt=max_tree;
        ans_pos=u;
    }
    return pre_tree;
}
int main()
{
    int from,to;
    scanf("%d",&n);
    FORa(i,2,n)
    {
        scanf("%d%d",&from,&to);
        Add_edge(from,to),Add_edge(to,from);
    }
    Dfs(1,0);
    printf("%d %d",ans_cnt,ans_pos);
    return 0;
}
/*6
1 2
1 3
2 5
3 4
5 6*/