CF468D Tree

题意：给你一棵树，每个节点有编号1~n。求一个字典序最小的排列满足sigma(i到p[i]的距离)最大。

n<=1e5.

标程：

#include<bits/stdc++.h>
#define P pair<int,int>
#define fir first
#define sec second
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=100005;
int cnt,head[N],Max[N],size[N],rt,Ans[N],num[N],n,u,v,w,blo,anc[N];
ll ans,dis[N];
set<int> s[N];
set<P> SZ,T;
struct node{int to,next,w;}Num[N*2];
void add(int x,int y,int w)
{Num[++cnt].to=y;Num[cnt].next=head[x];Num[cnt].w=w;head[x]=cnt;}
void find_rt(int x,int fa)
{
    size[x]=1;
    for (int i=head[x];i;i=Num[i].next)
      if (Num[i].to!=fa)
      {
             find_rt(Num[i].to,x);
             size[x]+=size[Num[i].to];
             Max[x]=max(Max[x],size[Num[i].to]);
      }
    Max[x]=max(Max[x],n-size[x]);
    if (Max[rt]>Max[x]) rt=x;
}
void dfs(int x,int fa,int Anc)
{
    if (Anc) anc[x]=Anc,s[Anc].insert(x);ans+=2*dis[x];
    for (int i=head[x];i;i=Num[i].next)
      if (Num[i].to!=fa)
      {
            dis[Num[i].to]=dis[x]+Num[i].w;
            if (!Anc) dfs(Num[i].to,x,++blo);else dfs(Num[i].to,x,Anc);
      }
}
void link(int x,int y)
{
    int p=*s[y].begin();
    SZ.erase(P(num[y],y));SZ.erase(P(num[anc[x]],anc[x]));
    T.erase(P(p,y));
    Ans[x]=p;s[y].erase(p);
    if ((int)s[y].size()) T.insert(P(*s[y].begin(),y));
    num[anc[x]]--;num[y]--;
    SZ.insert(P(num[y],y));SZ.insert(P(num[anc[x]],anc[x]));
}
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<n;i++) scanf("%d%d%d",&u,&v,&w),add(u,v,w),add(v,u,w);
    Max[rt=0]=n+1;find_rt(1,-1);
    dfs(rt,0,0);
    s[0].insert(rt);
    for (int i=0;i<=blo;i++) 
      T.insert(P(*s[i].begin(),i)),num[i]=2*(int)s[i].size(),SZ.insert(P(num[i],i));
    for (int i=1;i<=n;i++)//顺次枚举要匹配的点
    {
        if (SZ.rbegin()->fir==n-i+1&&SZ.rbegin()->sec!=anc[i]&&SZ.rbegin()->sec!=0) link(i,SZ.rbegin()->sec);
        else {
            set<P>::iterator now=T.begin();
            if (i!=rt&&now->sec==anc[i]) ++now;
            link(i,now->sec);
        }
    } 
    printf("%lld
",ans);
    for (int i=1;i<=n;i++) printf("%d%c",Ans[i],(i==n)?10:32);
    return 0;
}

易错点：1.要开ll。

2.SZ.rbegin()->sec!=0这句话不加得出的解也是对的，但CF上说错。。。

题解：树的重心+set+技巧

Ans=sigma(dis[i]+dis[p[i]]-2dis[lca(i,p[i])])=2*sigma(dis[i])-2*sigma(dis[lca(i,p[i])])。

即要使得sigma(dis[lca(i,p[i])])最小。如果lca(i,p[i])都是根答案就是2*sigma(dis[i])。

以重心为根，肯定能够构造出解。

考虑字典序最小。顺次枚举要匹配的i，如果直接找不在同一棵子树中的最小编号匹配，最后有可能出现不得不在同一棵树里的情况。

统计从根裂开的每一棵子树中 编号>=i的点的个数+未被匹配的点的个数=num。每次最多会从num中取走一个点（取走两个就在同一棵子树中了）。当num=n-i+1时，则每一次必然都在该子树中选择一个。则该子树必选。反之，挑选除i所在子树外最小的一个。

s[i]表示第i棵子树的未匹配点集。T表示每棵子树中选出的最小编号点集。SZ表示每棵子树num的集合，动态维护最大值。