loj2513 治疗之雨

题意：你的英雄一开始血量为p，你还有m个队友，血量无穷。血量上限为n，下限为0。如果血量满了就不能加血。每次启动操作，随机给m+1个英雄加1点血，然后等概率随机k次每次对于英雄扣1点血。求期望操作几次你的英雄没血？

n,m,p<=1500.

标程：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1e9+7; 
const int N=1505;
int n,p,m,k,f[N],inv[N],g[N][N],ans[N];
int ksm(int x,int y)
{
    int res=1;
    while (y) {if (y&1) res=(ll)res*x%mod; y>>=1;x=(ll)x*x%mod;}
    return res;
}
int Inv(int x){return ksm(x,mod-2);}
void gauss()
{
    for (int i=n;i>=2;i--)
    {
        if (g[i][i]==0&&g[i-1][i]==0) {puts("-1");return;}
        if (g[i][i]==0) 
        {
          for (int j=1;j<=i;j++) swap(g[i][j],g[i-1][j]);
          swap(g[i][n+1],g[i-1][n+1]);
        }
        else
        {
          if (!g[i-1][i]) continue;
          int v=(ll)g[i-1][i]*Inv(g[i][i])%mod;
          for (int j=1;j<=i;j++)
            g[i-1][j]=((ll)g[i-1][j]-(ll)g[i][j]*v%mod+mod)%mod;
          g[i-1][n+1]=((ll)g[i-1][n+1]-(ll)g[i][n+1]*v%mod+mod)%mod;
        }
    }
    for (int i=1;i<=p;i++)
    {
        ans[i]=g[i][n+1];
        for (int j=1;j<i;j++)
          ans[i]=((ll)ans[i]-(ll)ans[j]*g[i][j]%mod+mod)%mod;
        ans[i]=(ll)ans[i]*Inv(g[i][i])%mod;
        if (!ans[i]) {puts("-1");return;}
    }
    printf("%d
",ans[p]);
}
void init()
{
    memset(g,0,sizeof(g));
    int tmp=1,c=1,in,inn;in=inn=Inv(m+1);
    for (int i=1;i<=min(n,k);i++)
    {
        c=(ll)c*(k-i+1)%mod*inv[i]%mod;
        tmp=(ll)tmp*in%mod;
        f[i]=(ll)c*tmp%mod;
    }
    in=(ll)m*in%mod;tmp=ksm(in,k-min(n,k));
    f[0]=1;
    for (int i=min(n,k);i>=0;i--)
      f[i]=(ll)f[i]*tmp%mod,tmp=(ll)tmp*in%mod;
    
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        if (i==n) in=1,inn=0;
        for (int j=max(i-k,0);j<=i;j++) 
        {
          g[i][j]=((ll)g[i][j]+(ll)f[i-j]*in%mod)%mod;
          if (j+1<=n) g[i][j+1]=(ll)f[i-j]*inn%mod;
        }
        g[i][i]=((ll)g[i][i]-1+mod)%mod;g[i][n+1]=mod-1;
    }
}
int main()
{
    int T;scanf("%d",&T);
    inv[0]=inv[1]=1; for (int i=2;i<=1500;i++) inv[i]=(ll)(mod-mod/i)*inv[mod%i]%mod;
    while (T--) {
        scanf("%d%d%d%d",&n,&p,&m,&k);
        init();gauss();
    }
    return 0;
}

易错点:1.注意对无解的特判，如果有概率为0就是-1。

题解：dp+高斯消元

一般dp式子：dp[i]表示还剩下i滴血直到英雄死去的期望操作次数。分自己的英雄是否加血讨论。f[i]表示血量减少i的概率，可以预处理。

$dp[i]=(sum_{j=i-k}^{i}dp[j]*f[i-j]*m/(m+1)+sum_{j=i-k+1}^{i+1}dp[j]*f[i+1-j]*1/(m+1))+1$。

但是由于有dp[i+1]，难以递推。考虑设未知数进行高斯消元。高斯消元不是n^3*logn的吗？

由于这个矩阵写出来是阶梯状往右，第i行的最右边元素只到i+1，所以只用下面一行来减去它，化成右下三角矩阵求即可。时间复杂度O(n^2(*logn))。

或者直接用前n-1个式子写出dp[i]=Ax+B的表达式，然后再全部代入最后一个dp[n]=....的式子中，解Ax+B=A'x+B'即可。