bzoj4144 Petrol

题意：给你一张n个点m条边的带权无向图。其中由s个点是加油站。询问从x加油站到y加油站，油箱容量<=b，能否走到？

n,m,q,s<=20W,b<=2e9。

标程：

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<queue>
#include<cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
int read()
{
  int x=0;char ch=getchar();
  while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
  while ('0'<=ch&&ch<='9') x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0',ch=getchar();
  return x;
}
const int N=200005;
const int inf=0x3f3f3f3f;
struct node{int to,next,w;}num[N*2];
struct _node{int i;ll dis;_node(int A,ll B){i=A;dis=B;}};
struct Node{int u,v,id;ll dis;Node(){}; Node(int A,int B,ll C,int D){u=A;v=B;dis=C;id=D;}}a[N],e[N];
struct cmp{
  bool operator () (const _node &A,const _node &B)
  {return A.dis>B.dis;}
};
priority_queue<_node,vector<_node>,cmp>q;
int cnt,S,fa[N],u,v,w,n,s,m,head[N],vis[N],f[N],Q,ans[N],tot;
ll dis[N],b;
void add(int x,int y,int w)
{num[++cnt].to=y;num[cnt].next=head[x];num[cnt].w=w;head[x]=cnt;}
int find(int x) {return x==f[x]?x:f[x]=find(f[x]);}
bool operator < (const Node &A,const Node &B){return A.dis<B.dis;}
void dijk()
{
  while (!q.empty())
  {
    _node now=q.top();q.pop();
    if (vis[now.i]) continue;vis[now.i]=1;
    for (int i=head[now.i];i;i=num[i].next)
      if (dis[num[i].to]>dis[now.i]+num[i].w) 
      {
          dis[num[i].to]=dis[now.i]+num[i].w;q.push(_node(num[i].to,dis[num[i].to]));
          fa[num[i].to]=fa[now.i];
      }
  }
}
void init()
{ 
   for (int i=1;i<=n;i++)
     for (int j=head[i];j;j=num[j].next)
       if (fa[i]!=fa[num[j].to]&&fa[i]<fa[num[j].to]) e[++tot]=Node(fa[i],fa[num[j].to],dis[i]+dis[num[j].to]+num[j].w,tot);
}
void mst()
{
   int head=1;
   for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=i;
   for (int i=1;i<=Q;i++)
   {
     while (head<=tot&&e[head].dis<=a[i].dis)
     {
        int x=e[head].u,y=e[head].v;
        if (find(x)!=find(y)) f[find(x)]=find(y);
        head++;
     }
     if (find(a[i].u)!=find(a[i].v)) ans[a[i].id]=0;else ans[a[i].id]=1;
   }
}
int main()
{
   n=read();s=read();m=read();
   memset(dis,inf,sizeof(dis));
   for (int i=1;i<=s;i++) S=read(),dis[S]=0,q.push(_node(S,0)),fa[S]=S;
   for (int i=1;i<=m;i++) u=read(),v=read(),w=read(),add(u,v,w),add(v,u,w);
   dijk();init();
   Q=read();
   for (int i=1;i<=Q;i++) a[i].u=read(),a[i].v=read(),a[i].dis=read(),a[i].id=i;
   sort(a+1,a+Q+1);sort(e+1,e+tot+1);
   mst();
   for (int i=1;i<=Q;i++) puts(ans[i]?"TAK":"NIE");
   return 0;
}

题解：并查集+技巧

要走到肯定是瞄准了加油站走。而且每次如果能走，往最近的加油站走答案一定不会变劣（你也可以走回来）。

那么就有一种高超的建图方法：

1.跑多源最短路，找到每个点离它最近的加油站，算出距离。

2.对于原图边(u,v)，如果nearest[u]!=nearest[v]，那么连边nearest[u]-nearest[v]，边权为dist(u,nearest[u])+dist(v,nearest[v])+dist(u,v)。

这样离u，v最近的加油站就有经过(u,v)的一条路径了，但是不一定这样的dist(nearest[u],nearest[v])就是实际最短路，然而如果不是实际最短路，一定有另一个加油站k，离这边一个加油站更近，而且这样nearest[u]和nearest[v]一定通过另外几个加油站连通，实际走的策略也应该是经过另外几个加油站的。

离线掉询问按b从小到大排序，也按照b的顺序加入边，用并查集维护连通性。查询时，起点终点在同一个块中则可行。O((q+n)a)。

需要在线的话就构造出最小生成树，倍增/树剖找链上最大值。