杂题

高精度计算

在NOIP里，一般只涉及大整数的运算

(int)：(-2^{31})~(2^{31}-1)

(longspace long)：(-2^{63})~(2^{63}-1)

如何表示更大范围的整数？(A=overline{a_{l-1}a_{l-2}dots a_0}=acdot10^0+a_1cdot10^1+...+a_{l-1}cdot10^{l-1})

字符串输入，倒序转换（毒瘤题（压空间的）需要压位，如每4位放进一个int。但一般一位一个int足矣）

加法&减法

模拟竖式计算过程即可，注意：

进退位为(pm1)

注意处理最高位以及进位

高精度乘法

• 大数乘大数

  同理，(XY=sum_{i=0}^{l_x-1}sum_{j=0}^{l_y-1}x_iy_j10^{i+j})

  乘完的长度不超过 (X)和(Y)的长度之和

• 大数乘小数

  个位一次性乘完再处理进位即可

二分

注意事项：

• 二分是对有关有序数列的操作
• 区间的更新方式与终止条件 经常犯错 要考虑完善，

二分查找

int BinarySearch(int l,int r,int t,int x[]) {
    while(l<=r) {
        int mid=(l+r)>>1;
        if(x[mid]==t) {
            return mid;
        } else if(x[mid]<t) {
            l=mid+1;
        } else {
            r=mid-1;
        }
    }
    if(l>r) {
        return -1;
    }
}

函数复杂度(O(log_2n))

二分答案

判断条件：

1. 问题的答案满足单调性
2. 题目要求最大最小等

解决套路：

1. 把可能的答案序列排序
2. 枚举当前可能的答案区间中间值mid
3. 验证这个答案是不是一个可行解
4. 缩小区间，重复2
5. 缩小到不能二分时，判断是无解还是找到了最优可行解

字符串

字符串术语

• 子序列（不破坏相对顺序）、子串（连续的字符的集合，个数(=frac{n(n+1)}{2})），回文串

• 前缀，后缀

• 字符串匹配

  在文本串(T)（或集合）中，找到所有与模式串(P)匹配的个数

Trie树

解决：

• 字符串匹配
• 前缀匹配

基本性质：

• 储存了字符串的前缀信息

• 除了根节点，其他节点有且仅有一个字符

• 从根节点开始到某一个节点连接起来就是该节点对应的前缀

• Trie树可以在线构建

• 插入一个新的字符串

  • 时间复杂度(O(len))
  • 空间复杂度(O(sum len))

用法：

• 字符串查找
• 前缀相同的字符串
• 自动排序
• 两两计算最长公共前缀
• 扩展：建二进制Trie树，存二进制数

存储实现：

struct Node {
    int cnt;
    Node *ch[30]= {0};
    //或者
    int nxt[30]= {0};//转指针为数组
};

字符串Hash

（该算法如果想被卡比较容易，所以不推荐）

字符串( ightarrow)数字：

hash=0;
p=19260817LL,q=1e9+7LL;
for(int i=0; i<len; i++) {
    hash=(hash*p%q+s[i]-'a'+1)%q;
}

KMP算法

• 加速单模板串，多个文本串或长文本串的匹配

失配数组（nxt数组）

• 失配数组(nxt[i]=j)表示当第(i)位失配时可以快速移动到(j)

• (nxt)数组代可以通过自己配对自己得到

•   void getnext(char *s,int len,int *nxt) {
        int x=0;
        nxt[0]=-1;
        for(int i=1; i<len; i++) {
            while(x!=-1&&s[x]^s[x-1]) {
                x=nxt[x];
            }
            nxt[i+1]=++x;
        }
    }
    //kmp函数同理
  

马拉车

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 5;
char s[maxn * 2], str[maxn * 2];
int Len[maxn * 2], len;
void getstr() {//重定义字符串
	int k = 0;
	str[k++] = '@';//开头加个特殊字符防止越界
	for (int i = 0; i < len; i++) {
		str[k++] = '#';
		str[k++] = s[i];
	}
	str[k++] = '#';
	len = k;
	str[k] = 0;//字符串尾设置为0，防止越界
}
int manacher() {
	int mx = 0, id;//mx为最右边，id为中心点
	int maxx = 0;
	for (int i = 1; i < len; i++) {
		if (mx > i) Len[i] = min(mx - i, Len[2 * id - i]);//判断当前点超没超过mx
		else Len[i] = 1;//超过了就让他等于1，之后再进行查找
		while (str[i + Len[i]] == str[i - Len[i]]) Len[i]++;//判断当前点是不是最长回文子串，不断的向右扩展
		if (Len[i] + i > mx) {//更新mx
			mx = Len[i] + i;
			id = i;//更新中间点
			maxx = max(maxx, Len[i]);//最长回文字串长度
		}
	}
	return (maxx - 1);
}
int main() {
	scanf("%s", s);
	len = strlen(s);
	getstr();
	printf("%d
",manacher());
	return 0;
}

题目

例题

1. CF1181B

   从中间开始向两边找，找到第一个划分即为所求

2. CF900B

   模拟（e.g (frac{24}{7}:(24,0) ightarrow(3,3) ightarrow(30,3)...)）

3. AT2827

   贪心+二分查找优化时间复杂度

4. P2678

   二分选手的最小跳跃距离，如果距离小于选手的最小跳跃距离则把这块石头移走，移走数目大于(m)时不满足题意，反之亦然。

推荐练习

P2954，P1631，HDU1358 Period，HDU2203，SP7586