【luogu P4213】【模板】杜教筛（Sum）（数学）（整除分块）

【模板】杜教筛（Sum）

题目链接：luogu P4213

题目大意

要你求 φ 函数的前缀和和 μ 函数的前缀和。
（分别是欧拉函数和莫比乌斯函数）

思路

前置知识（们）

积性函数：对于两个互质的数 (x,y)，(f(xy)=f(x)f(y))，那 (f) 就是积性函数。
完全积性函数：对于任意两个整数 (x,y)，(f(xy)=f(x)f(y))，那 (f) 就是完全积性函数。

一些积性函数：(varphi,mu,d,sigma)
（分别是欧拉函数，莫比乌斯函数，约数个数，约数个数和）
一些完全积性函数：(epsilon,I,id)
(epsilon(n)=[n=1],I(n)=1,id(n)=n)

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狄利克雷卷积：
有两个函数 (f,g)，它们的狄利克雷卷积：((f*g)(n)=sumlimits_{d|n}f(d)g(dfrac{n}{d}))

不难看出，它满足交换律和结合律。
然后单位元就是 (epsilon)。

然后又一些性质：（根据定义简单推一推都不难看出）
(mu*I=epsilon)
(varphi*I=id)
(mu*id=varphi)

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莫反：

如果 (g(n)=sumlimits_{d|n}f(d))
那么 (f(n)=sumlimits_{d|n}mu(d)g(dfrac{n}{d}))

这个地方的证明其实可以用 (mu*I=epsilon)

给出条件相当于 (g=f*I)

然后 (g*mu=f*I*mu=f*epsilon=f)。

杜教筛

杜教筛就是用来求积性函数的前缀和 (sum(n)=sumlimits_{i=1}^nf(i))

考虑再找一个积性函数 (g)，求他们的狄利克雷卷积：
(sumlimits_{i=1}^n(f*g)(i))
(=sumlimits_{i=1}^nsumlimits_{d|n}f(d)g(dfrac{i}{d}))
(=sumlimits_{d=1}^ng(d)sumlimits_{i=1}^{leftlfloorfrac{n}{d} ight floor}f(i))
(=sumlimits_{d=1}^ng(d)sum(leftlfloordfrac{n}{d} ight floor))

然后考虑 (g(1)sum(n))，根据前缀和：
(=sumlimits_{i=1}^ng(i)sum(leftlfloordfrac{n}{i} ight floor)-sumlimits_{i=2}^ng(i)sum(leftlfloordfrac{n}{i} ight floor))
(=sumlimits_{i=1}^n(f*g)(i)-sumlimits_{i=2}^ng(i)sum(leftlfloordfrac{n}{i} ight floor))

那这个式子就是我们杜教筛要用的式子了。

有什么用呢，大概就是对于每个你要求的 (f)，如果你能找到一个合适的 (g)，它和 (f) 乘起来很好算而且 (g) 也好搞的话就可以拿来用。

就这题的例子，(mu*I=epsilon)，所以左边部分就 (epsilon) 的前缀和是 (1)，然后右边你可以用整除分块 (O(sqrt{n})) 搞。
然后 (varphi*I=id)，然后左边部分就 (id) 的前缀和是 (dfrac{(1+n)n}{2})，右边也是整除分块过去。
（然后这两个右边 (g(i)) 因为是整除分块也可以同前缀和求出，因为是 (I) 所以就是 (r-l+1)，即块的大小）

然后你可以预处理出 (n^{frac{2}{3}}) 以内的结果，复杂度就可以压到 (O(n^{frac{2}{3}}))。
（然后你还可以用 (map) 弄个小小的记忆化）

代码

#include<map>
#include<cstdio>
#define ll long long

using namespace std;

//const int Maxn = 1664511;
const int Maxn = 2000000;
int T, np[Maxn + 1], prime[Maxn + 1];
int miu[Maxn + 1], x;
ll phi[Maxn + 1];
map <int, int> ans_miu;
map <int, ll> ans_phi;

void init() {//预处理 n^{2/3} 的部分
	miu[1] = phi[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= Maxn; i++) {
		if (!np[i]) {
			prime[++prime[0]] = i;
			miu[i] = -1;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 1; j <= prime[0] && i * prime[j] <= Maxn; j++) {
			if (i % prime[j]) miu[i * prime[j]] = -miu[i], phi[i * prime[j]] = phi[i] * (prime[j] - 1), np[i * prime[j]] = prime[j];
				else {
					miu[i * prime[j]] = 0, phi[i * prime[j]] = phi[i] * prime[j], np[i * prime[j]] = prime[j];
					break;
				}
		}
	}
	for (int i = 1; i <= Maxn; i++)//前缀和起来
		miu[i] += miu[i - 1], phi[i] += phi[i - 1];
}

ll get_phi(int x) {
	if (x <= Maxn) return phi[x];
	if (ans_phi[x]) return ans_phi[x];
	
	ll re = 1ll * (1ll + x) * x / 2;//id 函数的前缀和
	for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
		r = x / (x / l);
		re -= 1ll * (r - l + 1) * get_phi(x / l);
	}
	return ans_phi[x] = re;
}

int get_miu(int x) {
	if (x <= Maxn) return miu[x];
	if (ans_miu[x]) return ans_miu[x];
	
	ll re = 1;//ϵ 函数的前缀和
	for (ll l = 2, r; l <= x; l = r + 1) {
		r = x / (x / l);
		re -= 1ll * (r - l + 1) * get_miu(x / l);
	}
	return ans_miu[x] = re;
}

int main() {
	init();
	
	scanf("%d", &T);
	while (T--) {
		scanf("%d", &x);
		printf("%llu %d
", get_phi(x), get_miu(x));
	}
	
	return 0;
}