【luogu AT2376】Black and White Tree（结论）（博弈论）（二分图）

Black and White Tree

题目链接：luogu AT2376

题目大意

给你一棵树，每次先手后手轮流选一个点染上自己的颜色。
然后如果先手的一次染色中它染色的点连着的边都是先手染过色的，那先手就赢了。
然后要你判断是先手必胜还是后手必胜。

思路

这题的结论是如果这个图的最大匹配能覆盖所有点，就是后手必胜，否则是先手必胜。

下面简单证明：如果有最大匹配是全部点，那先手无论点什么点，后手只要点跟它匹配的点。
那因为是匹配，是相邻的点，所以所有的白点旁边一定会有点都是黑点。（跟它匹配的点）

那如果最大匹配不是整个图，就会多出一个点。
我们可以安排这个点的位置到叶子节点，然后先手把它连着的点点了，后手不能叶子结点点，而是要点你那个点匹配的点（否则你别的地方就可以成立了），然后你就可以点这个叶子结点赢了。

然后判断树的最大匹配可以树形 DP，也可以直接无脑黑白染色网络流。

代码

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<iostream>
#define INF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f 

using namespace std;

struct node {
	int to, nxt;
}e[200001];
int n, x, y, deg[200001];
int num[2], le[200001], KK;

struct nde {
	int x, to, nxt, op;
}e_[600001];
int le_[200005], KK_, S, T;
int dis[200005];

void add(int x, int y) {
	e[++KK] = (node){y, le[x]}; le[x] = KK;
	e[++KK] = (node){x, le[y]}; le[y] = KK;
}

void add_(int x, int y, int z) {
	e_[++KK_] = (nde){z, y, le_[x], KK_ + 1}; le_[x] = KK_;
	e_[++KK_] = (nde){0, x, le_[y], KK_ - 1}; le_[y] = KK_;
}

void dfs(int now, int father) {
	deg[now] = deg[father] + 1;
	if (deg[now] & 1) {
		add_(S, now, 1);
		add_(now, father, 1);
		for (int i = le[now]; i; i = e[i].nxt)
			if (e[i].to != father)
				add_(now, e[i].to, 1);
	}
	else add_(now, T, 1);
	for (int i = le[now]; i; i = e[i].nxt)
		if (e[i].to != father) dfs(e[i].to, now); 
}

bool bfs() {//网络流求最大匹配（其实也可以 DP）
	memset(dis, 0x7f, sizeof(dis));
	dis[S] = 0;
	queue <int> q;
	q.push(S);
	while (!q.empty()) {
		int now = q.front();
		q.pop();
		for (int i = le_[now]; i; i = e_[i].nxt)
			if (e_[i].x && dis[e_[i].to] > dis[now] + 1) {
				dis[e_[i].to] = dis[now] + 1;
				if (e_[i].to == T) return 1;
				q.push(e_[i].to);
			}
	}
	return 0;
}

int dfss(int now, int sum) {
	if (now == T) return sum;
	int go = 0;
	for (int i = le_[now]; i; i = e_[i].nxt)
		if (dis[e_[i].to] == dis[now] + 1 && e_[i].x) {
			int this_go = dfss(e_[i].to, min(sum - go, e_[i].x));
			if (this_go) {
				e_[i].x -= this_go;
				e_[e_[i].op].x += this_go;
				go += this_go;
				if (go == sum) return go;
			}
		}
	return go;
}

int dinic() {
	int re = 0;
	while (bfs())
		re += dfss(S, INF);
	return re;
} 

int main() {
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i < n; i++) {
		scanf("%d %d", &x, &y);
		add(x, y);
	}
	
	S = n + 1; T = S + 1;
	dfs(1, 0);
	
	if (n & 1) {
		printf("First
");
		return 0;
	}
	if (dinic() * 2 != n) {
		printf("First
");
	}
	else printf("Second
");
	
	return 0;
}