“简单”的数论

求欧拉函数：小于等于n，和n互质的数的个数

int euler_phi(int n)
{
    int m=int(sqrt(n+0.5));
    int ans=n;
    for (int i=2;i<=m;i++)
    if (n%i==0)
    {
        ans=ans/i*(i-1);
        while (n%i==0) n/=i;
    }
    if (n>1) ans=ans/n*(n-1);
    return ans;
}

筛法求欧拉函数

void phi_table(int n,int* phi)
{
    for (int i=2;i<=n;i++) phi[i]=0;
    phi[1]=1;
    for (int i=2;i<=n;i++)
    if (!phi[i])
        for (int j=i;j<=n;j+=i)
        {
            if (!phi[j]) phi[j]=j;
            phi[j]=phi[j]/i*(i-1);
        }
}

求逆元的方法：

应用环境：

当（a/b）%p这个转化为解bx---1modp，所以

求bx%p就可以了，x是b的逆元

求b的逆元怎么办？

1.扩欧

void ex_gcd(int a,int b,int&x,int&y)
{
    if(b==0)
    {
        x=1,y=0;
        return;
    }
    ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int t=x;
    x=y;
    y=t-a/b*y;
    return;
}

 2.快速幂

#define ll long long
inline ll poW(ll a,ll b){
    long long ans=1;
    a%=p;
    while (b){
        if (b&1) ans=((ans*a)%p+p)%p;
        a=(a*a)%p; b>>=1;
    }
    return ans%p;
}

3.线性求逆元

inv[i]=(p-p/i)*inv[p%i]%p;

线性同余方程

int ex_gcd(int a,int b,int& x,int& y){//扩欧求逆元
    if(b==0){
        x=1;
        y=0;
        return a;
    }
    int d=ex_gcd(b,a%b,x,y);
    int temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;
    return d;
}
bool liEu(int a,int b,int c,int&x,int &y){
    int d=ex_gcd(a,b,x,y);
    if(c%d!=0) return 0;
    int k=c/d;
    x*=k;
    y*=k;
    return 1;
}

 高斯消元

 double gauss()
    {
        double ans = 1;
        for (int i=0; i<n; i++)
        {
            int sid = -1;
            for (int j=i; j<n; j++)
                if (abs(mat[j][i]) > eps)
                {
                    sid = j;
                    break;
                }
            if (sid == -1)
                continue;
            if (sid != i)
            {
                for (int j=0; j<n; j++)
                {
                    swap(mat[sid][j],mat[i][j]);
                    ans = - ans;
                }
            }
            for (int j=i+1; j<n; j++)
            {
                double ratio = mat[j][i]/mat[i][i];
                for (int k=0; k<n; k++)
                {
                    mat[j][k] -= mat[i][k] * ratio;
                }
            }
        }
        for (int i=0; i<n; i++)
            ans *= mat[i][i];
        return abs(ans);
    }
};

卢卡斯定理：

p为质数，C(n, m) % p  =  C(n / p, m / p) * C(n%p, m%p) % p

对于C(n / p, m / p)，如果n / p 还是很大，可以递归下去，一直到世界的尽头

ll lucas(int n, int m) {
    if(n<m) return 0;
    ll ans=1;
    for(; m; n/=P, m/=P) ans = ans*C(n%P, m%P)%P;
    return ans;
}

扩展卢卡斯：

p不是质数时，C（n,m）%p

ll Pow(ll a,ll b,ll P){
    ll ans=1;
    for(;b;b>>=1,a=a*a%P)
        if(b&1) ans=ans*a%P;
    return ans;
}
void exgcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y){
    if(b==0) d=a,x=1,y=0;
    else exgcd(b,a%b,d,y,x),y-=(a/b)*x;
}
ll Inv(ll a,ll n){
    ll d,x,y;
    exgcd(a,n,d,x,y);
    return d==1?(x+n)%n:-1;
}
ll Fac(ll n,ll p,ll pr){
    if(n==0) return 1;
    ll re=1;
    for(ll i=2;i<=pr;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
    re=Pow(re,n/pr,pr);
    ll r=n%pr;
    for(int i=2;i<=r;i++) if(i%p) re=re*i%pr;
    return re*Fac(n/p,p,pr)%pr;
}
ll C(ll n,ll m,ll p,ll pr){
    if(n<m) return 0;
    ll x=Fac(n,p,pr),y=Fac(m,p,pr),z=Fac(n-m,p,pr);
    ll c=0;
    for(ll i=n;i;i/=p) c+=i/p;
    for(ll i=m;i;i/=p) c-=i/p;
    for(ll i=n-m;i;i/=p) c-=i/p;
    ll a=x*Inv(y,pr)%pr*Inv(z,pr)%pr*Pow(p,c,pr)%pr;
    return a*(MOD/pr)%MOD*Inv(MOD/pr,pr)%MOD;
}
ll Lucas(ll n,ll m){
    ll x=MOD,re=0;
    for(ll i=2;i<=MOD;i++) if(x%i==0){
        ll pr=1;
        while(x%i==0) x/=i,pr*=i;
        re=(re+C(n,m,i,pr))%MOD;
    }
    return re;
}

中国剩余定理：

inv是逆元 欧几里得定理求

#include<cstdio>
#define ll long long
//扩展欧几里得算法求逆元
void gcd(ll a,ll b,ll &d,ll &x,ll &y)
{
    if(b==0){
        d=a;
        x=1,y=0;
    }
    else{//else不能省略 
        gcd(b,a%b,d,y,x);
        y-=(a/b)*x;
    }
}
//中国剩余定理 
ll China(int n,ll *m,ll *a)
{
    ll M=1,d,y,x=0;
    for(int i=0;i<n;i++) M*=m[i];
    for(int i=0;i<n;i++){
        ll w=M/m[i];
        gcd(m[i],w,d,d,y);
        x=(x+y*w*a[i])%M;
    }
    return (x+M)%M;
}
ll m[15],a[15];
int main()
{
    int n;
    scanf("%d",&n);
    for(int i=0;i<n;i++)
        scanf("%lld%lld",&m[i],&a[i]);
    printf("%lld",China(n,m,a));
}

 扩展中国剩余定理：m们不互质了

括号表示最大公约数gcd

LL gcd(LL a, LL b) {//求gcd
    return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
LL exgcd(LL a, LL b, LL &x, LL &y) {//用扩欧求逆元
    if (b == 0) {x = 1, y = 0; return a;}
    LL r = exgcd(b, a % b, x, y), tmp;
    tmp = x; x = y; y = tmp - (a / b) * y;
    return r;
}
LL inv(LL a, LL b) {//保存他的逆元
    LL r = exgcd(a, b, x, y);
    while (x < 0) x += b;
    return x;
}