一个无负权的图（可能有环）一定有最短路，最长路确不一定（因为有环）。dijikstra用于计算正权图的单源最短路。
最短路满足最优子结构性质，所以是一个动态规划问题。最短路的最优子结构可以描述为：D(s, t) = {Vs ... Vi ... Vj ... Vt}表示s到t的最短路，其中i和j是这条路径上的两个中间结点，那么D(i, j)必定是i到j的最短路，这个性质是显然的，可以用反证法证明。
priority_queue< pair<int,int> >q;//定义大根堆，进出取相反数，则变成小根堆 int head[maxn],ver[maxn],nextt[maxn],edge[maxn],tot; void add(int x,int y,int z){ver[++tot]=y,nextt[tot]=head[x],edge[tot]=z,head[x]=tot;} void dijikstra() { memset(d,0x3f,sizeof(d));//dist memset(v,0,sizeof(v));//标记是否扩展过 d[1]=0; q.push(make_pair(0,1)); while(q.size()) { int x=q.top().second;q.pop(); if(v[x])continue; v[x]=1; for(int i=head[x];i;i=nextt[i]) { int y=ver[i]; int z=edge[i]; if(d[y]>d[x]+z)//不能没有if语句，就把什么都放进去一遍，没有用 { d[y]=d[x]+z; q.push(make_pair(-d[y],y)); } } } }
例题：最优贸易
描述
C国有 n 个大城市和 m 条道路，每条道路连接这 n 个城市中的某两个城市。任意两个城市之间最多只有一条道路直接相连。这 m 条道路中有一部分为单向通行的道路，一部分为双向通行的道路，双向通行的道路在统计条数时也计为1条。
C国幅员辽阔，各地的资源分布情况各不相同，这就导致了同一种商品在不同城市的价格不一定相同。但是，同一种商品在同一个城市的买入价和卖出价始终是相同的。
商人阿龙来到C国旅游。当他得知“同一种商品在不同城市的价格可能会不同”这一信息之后，便决定在旅游的同时，利用商品在不同城市中的差价赚一点旅费。设C国 n 个城市的标号从 1~n，阿龙决定从1号城市出发，并最终在 n 号城市结束自己的旅行。在旅游的过程中，任何城市可以被重复经过多次，但不要求经过所有 n 个城市。
阿龙通过这样的贸易方式赚取旅费：他会选择一个经过的城市买入他最喜欢的商品——水晶球，并在之后经过的另一个城市卖出这个水晶球，用赚取的差价当做旅费。因为阿龙主要是来C国旅游，他决定这个贸易只进行最多一次，当然，在赚不到差价的情况下他就无需进行贸易。
现在给出 n 个城市的水晶球价格，m 条道路的信息（每条道路所连接的两个城市的编号以及该条道路的通行情况）。请你告诉阿龙，他最多能赚取多少旅费。
输入格式
第一行包含 2 个正整数n 和m，中间用一个空格隔开，分别表示城市的数目和道路的
数目。
第二行 n 个正整数，每两个整数之间用一个空格隔开，按标号顺序分别表示这n 个城
市的商品价格。
接下来 m 行，每行有3 个正整数，x，y，z，每两个整数之间用一个空格隔开。如果z=1，表示这条道路是城市x 到城市y 之间的单向道路；如果z=2，表示这条道路为城市x 和城市y 之间的双向道路。
输出格式
一个整数，表示答案。
样例输入
5 5 4 3 5 6 1 1 2 1 1 4 1 2 3 2 3 5 1 4 5 2
样例输出
5
#include <iostream> #include <cstdio> #include <cstring> #include <queue> #include <cstring> using namespace std; const int maxn=1000100; int n,m,tot,TOT,ans=0; int p[maxn],head[maxn],ver[maxn],nextt[maxn],pri[maxn],HEAD[maxn],VER[maxn],NEXT[maxn]; int f[maxn],F[maxn];//1-x中最小权值点 x-n最大权值点 bool v[maxn]; priority_queue< pair<int,int> >q; priority_queue< pair<int,int> >s; void add(int x,int y){ver[++tot]=y,nextt[tot]=head[x],head[x]=tot;} void ADD(int X,int Y){VER[++TOT]=Y,NEXT[TOT]=HEAD[X],HEAD[X]=TOT;} //find the smallest to 1 void dijikstra() { //求最小有负号？？？ memset(f,0x3f,sizeof(f)); memset(v,0,sizeof(v)); f[1]=pri[1]; q.push(make_pair(-pri[1],1)); while(q.size()) { int x=q.top().second;q.pop(); if(v[x])continue; v[x]=1; for(int i=head[x];i;i=nextt[i]) { int y=ver[i]; if(f[y]>f[x])//不能没有if语句，就把什么都放进去一遍，没有用 { f[y]=f[x]; f[y]=min(f[y],pri[y]); q.push(make_pair(-f[y],y)); } } } } //find the biggest to n void DIJIKSTRA() { memset(F,-1,sizeof(F)); memset(v,0,sizeof(v)); F[n]=pri[n]; s.push(make_pair(pri[n],n)); while(s.size()) { int x=s.top().second;s.pop(); if(v[x])continue; v[x]=1; for(int i=HEAD[x];i;i=NEXT[i]) { int y=VER[i]; if(F[y]<F[x]) { F[y]=F[x]; F[y]=max(F[y],pri[y]); s.push(make_pair(F[y],y)); } /* F[y]=max(F[x],pri[y]); s.push(make_pair(F[y],y)); */ } } } int main() { scanf("%d%d",&n,&m); for(int i=1;i<=n;i++) { scanf("%d",&pri[i]); } for(int i=1;i<=m;i++) { int x,y,z; scanf("%d%d%d",&x,&y,&z); if(z==1)//单向 { add(x,y); ADD(y,x); } else //双向 { add(x,y); add(y,x); ADD(x,y); ADD(y,x); } } dijikstra(); DIJIKSTRA(); for(int i=1;i<=n;i++) { ans=max(ans,F[i]-f[i]); } /*for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",f[i]); cout<<endl; for(int i=1;i<=n;i++)printf("%d ",F[i]);*/ printf("%d",ans); return 0; }