BZOJ 2154 Crash的数字表格 【莫比乌斯反演】

Description

今天的数学课上，Crash小朋友学习了最小公倍数(Least Common Multiple)。对于两个正整数a和b，LCM(a, b)表示能同时被a和b整除的最小正整数。例如，LCM(6, 8) = 24。回到家后，Crash还在想着课上学的东西，为了研究最小公倍数，他画了一张N*M的表格。每个格子里写了一个数字，其中第i行第j列的那个格子里写着数为LCM(i, j)。一个4*5的表格如下： 1 2 3 4 5 2 2 6 4 10 3 6 3 12 15 4 4 12 4 20 看着这个表格，Crash想到了很多可以思考的问题。不过他最想解决的问题却是一个十分简单的问题：这个表格中所有数的和是多少。当N和M很大时，Crash就束手无策了，因此他找到了聪明的你用程序帮他解决这个问题。由于最终结果可能会很大，Crash只想知道表格里所有数的和mod 20101009的值。

HINT

N, M ≤ 107。

Solution

依旧暴力写开

依旧枚举gcd

再令

 

继续暴力写出F

再令

于是得到

愉快地推完了//跪PoPoQQQ神推

#include<map>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cstdio>
#include<climits>
#include<iomanip>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
 
#define maxp 10000000
#define maxn 10000000+5
#define mod 20101009
#define set(a,b) memset(a,(b),sizeof(a))
#define fr(i,a,b) for(ll i=(a),_end_=(b);i<=_end_;i++)
#define rf(i,b,a) for(ll i=(a),_end_=(b);i>=_end_;i--)
#define fe(i,a,b) for(int i=first[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)
#define fec(i,a,b) for(int &i=cur[(b)],_end_=(a);i!=_end_;i=s[i].next)
 
using namespace std;
 
typedef long long ll;
 
ll f[maxn];
int prime[maxn],pri[maxn],miu[maxn],tot=0;
ll ans;
int n,m;
 
void read()
{
#ifndef ONLINE_JUDGE
  freopen("2154.in","r",stdin);
  freopen("2154.out","w",stdout);
#endif
  cin >> n >> m ;
}
 
void write()
{
  cout << (ans+mod)%mod ;
}
 
void get()
{
  miu[1]=1;
  fr(i,2,min(n,m)){
    if( !prime[i] ) pri[++tot]=i,miu[i]=-1;
    int j=1;
    while( j<=tot && pri[j]*i<=min(n,m) ){
      prime[ pri[j]*i ]=1;
      if( i%pri[j]==0 ){
    miu[pri[j]*i]=0;
    break;
      }
      miu[pri[j]*i]=-miu[i];
      j++;
    }
  }
  fr(i,1,min(n,m))
    f[i]=(f[i-1]+i*i*miu[i]%mod)%mod;
}
 
ll Sum(ll x,ll y)
{
  return ((x+1)*x/2%mod)*((y+1)*y/2%mod)%mod;
}
 
ll F(ll x,ll y)
{
  ll res=0,i=1,pos;
  while( i<=x ){
    pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
    res=(res+(f[pos]-f[i-1])*Sum(x/i,y/i)%mod)%mod;
    i=pos+1;
  }
  return res;
}
 
ll calc(ll x,ll y)
{
  if( x>y ) swap(x,y);
  ll res=0,i=1,pos;
  while( i<=x ){
    pos=min(x/(x/i),y/(y/i));
    res=(res+(pos-i+1)*(pos+i)/2%mod*F(x/i,y/i)%mod)%mod;
    i=pos+1;
  }
  return res;
}
 
void work()
{
  get();
  ans=calc(n,m);
}
 
int main()
{
  read();
  work();
  write();
  return 0;
}