回溯之0-1背包

0-1背包问题：物品总数n，每个物品的体积w[i]，价值v[i]，给定背包的总容量W，求放入背包中物品的最大价值。0-1背包回溯背景和思路是这样的:

用回溯法对0-1背包问题进行求解，具体思路是：

1.使用解空间进行标记每个物品的放入情况，即要建立一个数组进行保存其是否放入，可使用 bool  x[i]进行标识；

2.回溯法第一感觉上是穷举所有情况，但事实上，有好多种情况可以进行避免，即若第t个物品放入后（即x[t]=1）已经超出背包重量，那么，在x[t]=1情况下的t+1—n个物品就不用再考虑，这样可以节省好多时间，回溯法有区别与穷举法；

3.对于解空间，用解空间数进行组织数据，解空间树的深度就是问题的规模n；

4.在解空间树中，我们用左子树、右子树分别标记1/0情况，即左子树的边代表放入，右子树的边代表不放入；

5.建立回溯函数是重中之重，回溯函数建立有三步(判断是否到达叶节点，约束条件(这里是基于重量)，限界剪枝(剩余价值是否大于最优，否则没有算下去的必要了))

具体的实现如下:

#include <iostream>
#define N 100
using namespace std;
int n;
double W;
double w[N];
double v[N];
bool x[N];  //用于记录某次回溯情况
bool best_x[N]; //存储最优回溯情况
double now_v;   //当前价值
double remain_v;    //剩余价值
double now_w;   //当前容量
double best_v;  //最优价值

//计算剩余价值
double Bound(int k){
    remain_v = 0;
    while (k <= n) {
        remain_v += v[k];
        k++;
    }
    return remain_v + now_v;
}
//剪枝的三个判定
void Backtrack(int t){
    if (t > n) {  //是否到达叶节点
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            best_x[i] = x[i];   //记录回溯的最优情况
        }
        best_v = now_v; //记录回溯中的最优价值
        return;
    }
    if (now_w + w[t] <= W) {  //约束条件，是否放入。放入考虑左子树，否则考虑右子树
        x[t] = 1;
        now_w += w[t];
        now_v += v[t];
        Backtrack(t + 1); //进行下一个节点的分析
        now_w -= w[t];  //在到达叶节点后进行回溯
        now_v -= v[t];
    }
    if (Bound(t + 1) > best_v) {    //限界条件，是否剪枝。若放入t后不满足约束条件则进行到此处，然后判断若当前价值加剩余价值都达不到最优，则没必要进行下去
        x[t] = 0;
        Backtrack(t + 1);
    }
}
//实现价值最优
void Knapsack(double W, int n){
    double sum_w = 0;
    double sum_v = 0;
    best_v = 0;
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        sum_w += w[i];
        sum_v += v[i];
    }
    if (sum_w <= W) {
        best_v = sum_v;
        cout << "These goods could be put in the shopping car";
        cout << "The best value is:" << best_v << endl;
        return;
    }
    Backtrack(1);
    cout << "The best value is:" << best_v << endl;
    cout << "The condiction of these goods are:" << endl;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cout << i << " ";
        cout << best_x[i] << endl;   //打印所有物品的放入情况，若为1表示放入，若为0则表示不放入
    }
}
int main(){
    cout << "Please input the num of goods:";
    cin >> n;
    cout << "Please input the capacity of the shopping car:";
    cin >> W;
    cout << "Please input thier weights and values in order:" << endl;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        cin >> w[i] >> v[i];
    }
    Knapsack(W, n);
    return 0;
}