[ NOI 2002 ] 荒岛野人

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Description

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• (nle 15)，保证答案小于 (10^6)。

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Solution

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首先要注意到答案不具有单调性，手搓两组样例就能发现剩余系不同重合位置是不同的。

然后想到从小往大枚举答案然后验证。注意下界是 (max{C_i})

验证选择最暴力的方法即可。

加入现在枚举共有 (len) 个洞。

考虑两个野人 (i,j) ，假如说 (k) 年后他们重合，那么 (k) 应该满足

[C_i+kP_iequiv C_j+kP_jpmod{len} ]

移项

[k（P_i-P_j)equiv C_j-C_ipmod{len} ]

这不是同余方程么.....直接扩欧求一个最小的正整数解 (k) 即可。

如果 (k>min(L_i,L_j)) 证明在相遇之前他们之中就有人死了，所以没有问题。

特殊的，如果无解代表他们这辈子也碰不到，也是合法的。

复杂度 (O(ans imes 15^2 imes log 10^6))

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Code

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 20
#define R register
#define gc getchar
using namespace std;

inline int rd(){
  int x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

int n,mx,c[N],p[N],l[N];

void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &g){
  if(!b){g=a;x=1;y=0;}
  else{exgcd(b,a%b,y,x,g);y-=a/b*x;}
}

inline bool valid(int now){
  R int a,b,d,x,y,g;
  for(R int i=1;i<n;++i)
    for(R int j=i+1;j<=n;++j){
      b=now;
      a=(p[i]-p[j]+b)%b;
      d=(c[j]-c[i]+b)%b;
      exgcd(a,b,x,y,g);
      if(d%g!=0) continue;
      a/=g; b/=g; d/=g;
      x=(x*d%b+b)%b;
      if(x<=min(l[i],l[j])) return 0;
    }
  return 1;
}

int main(){
  n=rd();
  if(n==1){puts("1");return 0;}
  for(R int i=1;i<=n;++i){
    mx=max(mx,c[i]=rd());
    p[i]=rd(); l[i]=rd();
  }
  while(!valid(mx)) ++mx;
  printf("%d
",mx);
  return 0;
}