[ Luogu 3924 ] 康纳的线段树

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(Description)

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现在有一个线段树维护长为(N)的数列，实现方式是(mid=((l+r)>>1))，支持区间加，节点维护区间和。

共有(M)次区间加，每次区间加之后询问，选一条从根到任意叶子节点的链，其上的节点维护的区间和之和的期望。

• (N,Mle 10^6)

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(Solution)

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根据期望的线性性，开始的想法是维护每一个节点在选中的链上的概率，每次修改把修改乘上概率，复杂度( ext O(NlogN))，卡(T)三个点。

然后仔细回想每一次增加的过程。对一个叶子增加，显然对他的所有祖先都会有贡献，假如一个节点深度为(k)，那么它被选在链里的概率就是(frac 1{2^k}) ，所以一个叶子节点 (i) 从自己开始所有祖先的概率和为

[sum_{i=0}^{deep[i]} frac 1{2^i}=2-frac 1{2^{deep[i]}} ]

因为期望的线性性，所以这一个叶节点增加，所有祖先会对总期望加上选择概率( imes)增量的答案，不妨直接记录每个叶节点及其祖先节点在这个节点增加时的概率和，这样就可以直接统计一个节点对答案的增量了。

然后区间加的时候区间的增量都相同，所以把概率求一个前缀和，然后总增量就是区间概率和( imes)单点增量了。

这题邪在需要(long double)，而且用 (printf) 输出 (\%lf) 是非常慢的，所以要先强转(long long)，然后注意转换的时候要设(eps)。

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(Code)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1000010
#define R register
#define gc getchar
#define mid ((l+r)>>1)
using namespace std;
typedef long long ll;
typedef long double ld;

inline ll rd(){
  ll x=0; bool f=0; char c=gc();
  while(!isdigit(c)){if(c=='-')f=1;c=gc();}
  while(isdigit(c)){x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48);c=gc();}
  return f?-x:x;
}

ll n,m;
ld ans,bin[30],p[N];

const ld eps=1e-9;

void dfs(ll dp,ll l,ll r){
  if(l==r){p[l]=dp;return;}
  dfs(dp+1,l,mid);
  dfs(dp+1,mid+1,r);
}

int main(){
  n=rd(); m=rd(); bin[0]=rd();
  dfs(0,1,n);
  for(R ll i=1;i<=30;++i) bin[i]=bin[i-1]/2;
  for(R ll i=1;i<=n;++i){
    p[i]=(bin[0]*2)-bin[(ll)p[i]];
    ans+=(ld)rd()*p[i]; p[i]+=p[i-1];
  }
  for(R ll i=1,l,r,w;i<=m;++i){
    l=rd(); r=rd(); w=rd();
    ans+=(ld)w*p[r]-(ld)w*p[l-1];
    printf("%lld
",(ll)floor(ans+eps));
  }
  return 0;
}