[ Luogu 3927 ] Factorial

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(Description)

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求 (N!) 在 (K) 进制表示下末尾 (0) 的个数。

• (N,Kin [1,10^{12}])

(\)

(Solution)

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我又NC了

考虑何种情况(K)进制下会产生(0)，可以类比十进制下的情况，发现(2)和(5)的因数各一个就会产生一个(0)，这是因为(10=2^1 imes 5^1)。类比的，我们将(K)分解质因数：

[K=prod_{i=1}^M p_i^{t_i} ]

那么构成一个(0)的代价就是对于分解得到的每一个(p_i)，消耗(t_i)个(p_i)。

然后对分解得到的每一个质因数求一下(N!)里含有多少个即可，这个套路很常见，每次加上(N/p_i)，同时让(N=N/p_i)至(N=0)即可，加入统计出的(N!)里含有(g_i)个(p_i)。

[ans=min_{i=1}^M {lfloorfrac{g_i}{t_i} floor} ]

(\)

(Code)

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#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cctype>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define N 1000010
#define R register
#define inf 9000000000000000ll
using namespace std;
typedef long long ll;

ll n,k,tmp,res,ans=inf,fac[N],cnt[N];

int main(){
  scanf("%lld%lld",&n,&k);
  tmp=sqrt(k);
  for(R ll i=2;i<=tmp;++i)
    if(k%i==0){
      fac[++fac[0]]=i;
      while(k%i==0) ++cnt[fac[0]],k/=i;
    }
  if(k!=1) fac[++fac[0]]=k,cnt[fac[0]]=1;
  for(R int i=1;i<=fac[0];++i){
    tmp=n; res=0;
    while(tmp) res+=tmp/fac[i],tmp/=fac[i];
    ans=min(ans,res/cnt[i]);
  }
  printf("%lld
",ans);
  return 0;
}