欧拉回路：图G，若存在一条路，经过G中每条边有且仅有一次，称这条路为欧拉路，如果存在一条回路经过G每条边有且仅有一次，
称这条回路为欧拉回路。具有欧拉回路的图成为欧拉图。
判断欧拉路是否存在的方法
有向图：图连通，有一个顶点出度大入度1，有一个顶点入度大出度1，其余都是出度=入度。
无向图：图连通，只有两个顶点是奇数度，其余都是偶数度的。
判断欧拉回路是否存在的方法
有向图：图连通，所有的顶点出度=入度。
无向图：图连通，所有顶点都是偶数度。
程序实现一般是如下过程：
1.利用并查集判断图是否连通，即判断p[i] < 0的个数，如果大于1，说明不连通。
2.根据出度入度个数，判断是否满足要求。
3.利用dfs输出路径。
比较好的题目是poj2337，判断单词是否连成一排的。
hdu3018
给出N个节点，M个边，问要遍历一遍所有的边，需要的最小group数目。
求一个图中最少几笔画，利用欧拉回路性质，首先得到图的每个强连通分支，然后计算每个强连通分支每个是否都是偶数度是的话，一笔解决，否的话，需要奇数度节点个数的1/2笔解决。（当一个节点度数为奇数时，我们只需要令它的度数为1，因为偶数的话直接抵消了，最后判断一个scc中未1的节点个数，除以2就得到该scc的最小笔画了）
代码：
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int max_len = 1000 + 10;
const int maxv = 27;
int in[maxv]; /* 入度 */
int out[maxv]; /* 出度 */
int p[maxv];/* 并查集数组 */
bool used[maxv];/* 标识字符是否出现在图中 */
void init()
{
for(int i = 0; i < maxv; ++i)
{
in[i] = 0;
out[i] = 0;
p[i] = -1;
used[i] = 0;
}
}
int find_set(int x)
{
if(0 <= p[x])
{
p[x] = find_set(p[x]);
return p[x];
}
return x;
}
void union_set(int a, int b)
{
int r1 = find_set(a);
int r2 = find_set(b);
if(r1 == r2)
return;
int n1 = p[r1];
int n2 = p[r2];
if(n1 < n2)
{
p[r2] = r1;
p[r1] += n2;
}
else
{
p[r1] = r2;
p[r2] += n1;
}
}
int main()
{
int t = 0;
int n = 0;
int len = 0;
int s = 0;
int e = 0;
int i = 0;
char word[max_len];
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
init();
scanf("%d", &n);
for(i = 0; i < n; ++i)
{
scanf("%s", word);
len = strlen(word);
s = word[0] - 'a';
e = word[len - 1] - 'a';
used[s] = 1;
used[e] = 1;
out[s]++;
in[e]++;
union_set(s, e);
}
//根据并查集判断图是否连通
int scc = 0;
for(i = 0; i < maxv; ++i)
{
if(used[i] && 0 > p[i])
++scc;
}
if(1 < scc)
{
printf("The door cannot be opened.
");
continue;
}
//入度是否等于出度
int a = 0;
int b = 0;
for(i = 0; i < maxv; ++i)
{
if(used[i] && in[i] != out[i])
{
if(1 == (in[i] - out[i]))
++a;
else if(1 == (out[i] - in[i]))
++b;
else
break;
}
}
if(i < maxv)
printf("The door cannot be opened.
");
else if(0 == (a + b) || (1 == a && 1 == b))
printf("Ordering is possible.
");
else
printf("The door cannot be opened.
");
}
return 0;
}poj2230
题目大意：给出n个field及m个连接field的边，然后要求遍历每条边仅且2次，求出一条路径来。
这个题目典型欧拉回路，由于题目保证了肯定存在，所以我们直接dfs就行，首先有个小技巧是如何判断该条路是否走过了，也就是我们得对有向边进行标记。利用之前的结构
struct edge{
int next;
int to;
};
edge node[maxm];
int adj[maxv] = {-1}
每一条边对应了一个next，我们只需要对next标记就可以了。
#include <iostream>
#include <stdio.h>
using namespace std;
const int maxm = 2*50000 + 1;
const int maxv = 10000 + 5;
struct edge{
int to;
int next;
};
edge node[maxm]; /*邻接表*/
int adj[maxv];
bool used[maxm];/* 标记边是否访问过*/
void Euler(int vertix)
{
for(int i = adj[vertix]; i != -1; i = node[i].next)
{
if(!used[i])
{
used[i] = 1;
Euler(node[i].to);
}
}
printf("%d
", vertix);
}
int main()
{
int n = 0;
int m = 0;
int i = 0;
int u = 0;
int v = 0;
int cnt = 0;
scanf("%d%d", &n, &m);
for(i = 0; i <= n; ++i)
adj[i] = -1;
for(i = 0; i <= m*2; ++i)
used[i] = 0;
for(i = 0; i < m; ++i)
{
scanf("%d%d", &u, &v);
//u->v
node[cnt].to = v;
node[cnt].next = adj[u];
adj[u] = cnt++;
//v->u
node[cnt].to = u;
node[cnt].next = adj[v];
adj[v] = cnt++;
}
Euler(1);
return 0;
}
poj2337
求欧拉路径和poj1386同一个题，只不过这个题目需要输出欧拉路径。
题目大意：给出一组单词，如果两个单词，一个单词的头和另一个单词的尾相同，则可以相连，例如abce, efdg,可以相连，问这组单词能否排成一排，如果可以求出字典序自小的那个。
构图：单词作为边，单词的头字母和尾字母分别作为顶点，读入一个单词，添加一条边，并且用邻接表来存边，首先利用并查集判断图是否连通，然后再判断是否可以构成欧拉通路或者回路，如果是回路，则从a开始找，找到第一个存在的字母，从这个字母遍历就行，如果是通路，则必须从出度大于入度1的那个顶点开始遍历。由于这个题目要求最小字典顺序，然后考虑我们建立邻接表的时候是采用头插法，那么我们如果将单词从小到大排序，由于我们遍历顶点肯定是从小的顶点开始的，这样遍历一个顶点的邻接边的时候就会从大到小访问这个顶点的边，无法满足字典最小，所以从大到小排序,遍历依node数组为准，每次遍历一条边设置该下标已访问过。
代码：
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1000 + 10;
const int max_l = 28;
//char word[maxn][max_l];
char ret[maxn][max_l];
struct edge{
int to;
int next;
char str[max_l];
};
edge node[maxn];
int adj[max_l];
int in[max_l];
int out[max_l];
bool used[maxn];
bool exist[max_l];
int p[max_l]; /* 并查集 */
int num_e = 0;
int ret_e = 0;
//从大到小排序
bool cmp(edge p1, edge p2)
{
return strcmp(p1.str, p2.str) > 0;
}
void init()
{
for(int i = 0; i < max_l; ++i)
{
in[i] = 0;
out[i] = 0;
p[i] = -1;
exist[i] = 0;
adj[i] = -1;
}
for(int j = 0; j < maxn; ++j)
used[j] = 0;
num_e = 0;
ret_e = 0;
}
int find_set(int u)
{
if(0 <= p[u])
{
p[u] = find_set(p[u]);
return p[u];
}
return u;
}
void union_set(int u, int v)
{
int r1 = find_set(u);
int r2 = find_set(v);
if(r1 == r2)
return;
int n1 = p[r1];
int n2 = p[r2];
if(n1 < n2)
{
p[r2] = r1;
p[r1] += n2;
}
else
{
p[r1] = r2;
p[r2] += n1;
}
}
void Eular(int vertix, int idx)
{
for(int i = adj[vertix]; i != -1; i = node[i].next)
{
if(!used[i])
{
// strcpy(ret[ret_e++], node[i].str);
used[i] = 1;
Eular(node[i].to, i);
}
}
/*idx就是node数组的下标，标识一条边*/
if(0 <= idx)
strcpy(ret[ret_e++], node[idx].str);
}
int main()
{
int t = 0;
int n = 0;
int i = 0;
int u = 0;
int v = 0;
int start = 0; //从哪个顶点开始遍历
scanf("%d", &t);
while(t--)
{
scanf("%d", &n);
if(!n)
continue;
for(i = 0; i < n; ++i)
scanf("%s", node[i].str);
init();
start = max_l;
sort(node, node + n, cmp);
//建图
for(i = 0; i < n; ++i)
{
u = node[i].str[0] - 'a';
v = node[i].str[strlen(node[i].str) - 1] - 'a';
in[v]++;
out[u]++;
exist[u] = 1;
exist[v] = 1;
union_set(u, v);
node[num_e].to = v;
node[num_e].next = adj[u];
adj[u] = num_e++;
}
//判断是否连通
int scc = 0;
for(i = 0; i < max_l; ++i)
{
if(exist[i] && 0 > p[i])
++scc;
if(1 < scc)
break;
}
if(1 < scc) //不连通
{
printf("***
");
continue;
}
//是通路or回路
int a = 0;
int b = 0;
start = -1;
for(i = 0; i < max_l; ++i)
{
if(exist[i] && in[i] != out[i])
{
if(1 == in[i] - out[i])
++a;
else if(1 == out[i] - in[i])
{
++b;
start = i;
}
else
break;
}
}
if(i < max_l)
{
printf("***
");
continue;
}
else
{
if(!((0 == a + b) || (1 == a && 1 == b)))
{
printf("***
");
continue;
}
if(-1 == start)
{//回路 找到第一个存在的字母
int k = 0;
for(k = 0; k < max_l; ++k)
{
if(out[k])
break;
}
start = k;
}
//从顶点start开始dfs
Eular(start, -1);
printf("%s", ret[ret_e - 1]);
for(i = ret_e - 2; i >= 0; --i)
printf(".%s", ret[i]);
printf("
");
}
}
return 0;
}