• 「多项式牛顿迭代」


    「多项式牛顿迭代」

    前置知识

    导数

    微积分

    多项式泰勒展开

    基本问题

    给定一个 (n) 次多项式 (F(x)),求多项式 (G(x)) 满足:

    [F(G(x))equiv 0mod x^n ]

    设有

    [F(G_0(x))equiv 0mod x^n ]

    根据泰勒展开得

    [F(G(x))=sum^{infty}_{n=0}frac{F^{(n)}(G_0(x))(G(x)-G_0(x))^n}{n!} ]

    [ecause F(G(x))equiv 0mod x^n ]

    [ herefore sum^{infty}_{n=0}frac{F^{(n)}(G_0(x))(G(x)-G_0(x))^n}{n!} equiv 0mod x^n ]

    由于 (G(x)) 是一个 (n) 次多项式,且是在 ((mod; x^n)) 的意义下,所以 (n=2) 以后的项都被模成了 (0)

    [F(G_0(x))+F'(G_0(x))(G(x)-G_0(x)) equiv 0mod x^n ]

    [F(G_0(x))+F'(G_0(x))G(x)-F'(G_0(x))G_0(x) equiv 0mod x^n ]

    [F'(G_0(x))G(x)equiv F'(G_0(x))G_0(x) - F(G_0(x))mod x^n ]

    [G(x)equiv G_0(x) - frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}mod x^n ]

    解得

    [G(x)equiv G_0(x) - frac{F(G_0(x))}{F'(G_0(x))}mod x^n ]

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