「点分治」学习笔记

「点分治」学习笔记

什么是点分治

拆开来说，“点”就是树上的每一个点，“分治”就是类似 (CDQ) 的分治，用来解决和处理带权无根树（无向树，即每个点都可以当根）上路径统计问题。

基本思路

对于一个树上的路径，无非分成两种情况：

• 经过根节点的一条路径
• 在一个子树里的路径

这样我们就可以利用分治的思想，先处理一颗大树，只统计经过根节点的路径，再处理它的每个子树。

STEP1

• 寻找树的重心

（树的重心：其最大子树大小比其他任何一个节点当根的最大子树大小都小）

为什么要找树的重心呢，用一个例子来说明：

如果树是一条长度为 (5) 的链状，我们用最上面的 (1) 结点来处理，复杂度就是 (5)。

但是，我们如果用其重心 (（3）) 来处理，复杂度就是 (2) 了。

所以求树的重心保证了我们的时间复杂度。

void FindRoot (int u, int fa) { // 寻找树的重心
	size[u] = 1, maxson[u] = 0; // 子树大小和，最大子树大小
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || vis[v]) continue; // vis数组很重要，我们后面再说
		FindRoot (v, u);
		size[u] += size[v]; // 统计子树大小
		maxson[u] = max (maxson[u], size[v]); // 求出最大
	}
	maxson[u] = max (maxson[u], Tsize - size[u]); // 别忘了它上面的子树（它的爸爸那边的）
	if (maxson[u] < maxson[root]) root = u; // 更新根节点
}

STEP2

• 计算并统计其子树节点到它的路径

这里就要用到我们的分治思想了。

首先我们先 (DFS) 一遍统计一下每个根节点到下面节点的路径长度。

void DFS (int u, int fa, int d) { // d为当前节点u到root的距离
	w[++ cnt] = d; // 记录到数组里面，一会儿分治用
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		DFS (v, u, d + e[i].w); // 计算距离
	}
}

• 分治

我们将上面记录的距离数组，从小到大排序一边。

定义一个左指针 (l) ，一个右指针 (r)， 如果说 (w[l] + w[r] > k) 将右指针左移， 如果 (w[l] + w[r] <= k) 那么 (r) 左边的所有路径都可以满足条件，将答案加上 (r - l + 1) 即可。

---

我们现在将每个根节点到自己的为 (0) 路径也算到答案里面了，所以我们最后需要减去一个 (n) 。

同时我们也将同一个子树里面结点的路径也加上了，所以我们在总的点分治里面，再减去其子树所特殊统计到的答案。

---

inline int Calc (int u, int d) {
	register int sum = 0;
	cnt = 0;
	DFS (u, 0, d); // 统计路径
	sort (w + 1, w + cnt + 1); // 从小到大排序
	register int r = cnt;
	for (register int l = 1; l <= cnt; l ++) {
		while (w[l] + w[r] > k && r >= 1) r --; // 左移右指针
		if (l > r) break;
		sum += r - l + 1;
	}
	return sum;
}

STEP3

• 最后就是点分治的核心了

先加上到当前根节点的答案，便历其子节点，将其子节点基础距离为 (e[i].w)的答案减去。

别忘了在处理每颗子树的时候，也要更新一边重心。

void CDQ (int u) {
	ans += Calc (u, 0);
	vis[u] = 1;
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (vis[v]) continue;
		ans -= Calc (v, e[i].w); // 减去冗余的答案
		root = 0;
		Tsize = size[v]; // 更新当前树的大小和根节点
		FindRoot (v, u);
		CDQ (root); // 处理每个子树
	}	
}

时间复杂度

好像差不多是 (O(nlog^2_n))， 证明略

模板题

某谷P4178

代码

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>

#define DEBUG puts ("emmmm")

using namespace std;

const int maxn = 1e5 + 50, INF = 0x3f3f3f3f;

inline int read () {
	register int x = 0, w = 1;
	char ch = getchar();
	for (; ch < '0' || ch > '9'; ch = getchar()) if (ch == '-') w = -1;
	for (; ch >= '0' && ch <= '9'; ch = getchar()) x = x * 10 + ch - '0';
	return x * w;
}

int n, k, root, Tsize, ans, cnt;
int size[maxn], maxson[maxn], w[maxn];
bool vis[maxn];

struct Edge {
	int to, next, w;
}e[maxn << 1];

int tot, head[maxn];

void Add (int u, int v, int w) {
	e[++tot].to = v;
	e[tot].w = w;
	e[tot].next = head[u];
	head[u] = tot;
}

void FindRoot (int u, int fa) { // 寻找树的重心
	size[u] = 1, maxson[u] = 0; // 子树大小和，最大子树大小
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || vis[v]) continue; // vis数组很重要，我们后面再说
		FindRoot (v, u);
		size[u] += size[v]; // 统计子树大小
		maxson[u] = max (maxson[u], size[v]); // 求出最大
	}
	maxson[u] = max (maxson[u], Tsize - size[u]); // 别忘了它上面的子树（它的爸爸那边的）
	if (maxson[u] < maxson[root]) root = u; // 更新根节点
}

void DFS (int u, int fa, int d) { // d为当前节点u到root的距离
	w[++ cnt] = d; // 记录到数组里面，一会儿分治用
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (v == fa || vis[v]) continue;
		DFS (v, u, d + e[i].w); // 计算距离
	}
}

inline int Calc (int u, int d) {
	register int sum = 0;
	cnt = 0;
	DFS (u, 0, d); // 统计路径
	sort (w + 1, w + cnt + 1); // 从小到大排序
	register int r = cnt;
	for (register int l = 1; l <= cnt; l ++) {
		while (w[l] + w[r] > k && r >= 1) r --; // 左移右指针
		if (l > r) break;
		sum += r - l + 1;
	}
	return sum;
}

void CDQ (int u) {
	ans += Calc (u, 0);
	vis[u] = 1;
	for (register int i = head[u]; i; i = e[i].next) {
		register int v = e[i].to;
		if (vis[v]) continue;
		ans -= Calc (v, e[i].w); // 减去冗余的答案
		root = 0;
		Tsize = size[v]; // 更新当前树的大小和根节点
		FindRoot (v, u);
		CDQ (root); // 处理每个子树
	}	
}

int main () {
	//freopen ("tree.in", "r", stdin);
	//freopen ("tree.out", "w", stdout);
	n = read();
	for (register int i = 1; i <= n - 1; i ++) {
		register int u = read(), v = read(), w = read();
		Add (u, v, w), Add (v, u, w);
	}
	k = read();
	maxson[root = 0] = INF, Tsize = n;
	FindRoot (1, 0);
	CDQ (root);
	printf ("%d
", ans - n);
	return 0;
}