小烈送菜
题目描述
小烈一下碰碰车就被乐满地的工作人员抓住了。作为扰乱秩序的惩罚，小烈必须去乐满地里的“漓江村”饭店端盘子。
服务员的工作很繁忙。他们要上菜，同时要使顾客们尽量高兴。一位服务生为 (n) 个顾客上菜。这 (n) 个顾客坐成一排，小烈从一端的厨房中端出(n)盘菜（不要问我为什么小烈能一下子端住 (2500) 盘菜，他就是能）为 (n) 个顾客各上一道相同的菜。
显然，小烈需要走一个来回，如图：
本来，小烈可以按 (1,2,3...n) 的顺序一次给每个顾客上菜，但是，聪明的小烈通过观察发现，每个顾客都有一个开心值 (H_1)、(H_2)、(H_3)...(H_n) ，离厨房最近的为 (H_1) ，然后依次为 (H_2)、(H_3)...(H_n) 。若小烈给第 (j) 位顾客上菜前刚刚为第 (i) 位顾客上菜，则第 (j) 位就会高兴，产生高兴指数 (W_j=H_i imes H_j) 。这样，如果小烈按一定的方式调整上菜顺序，可以得到更高的高兴指数。现在小烈想知道用某一方法可达到的 (n) 位顾客高兴指数之和的最大值 (S) 。因为顾客越高兴，给小烈的小费越多。第一位上菜的顾客不产生高兴值。
输入格式
第一行一个整数 (n) ，顾客的数目。
第二行 (n) 个数，第 (i) 个数表示第 (i) 位顾客的开心值。各个数字用空格隔开。
输出格式
一个数 (s) ，为高兴指数的最大值。
样例
样例输入
3
7 1 9
样例输出
72
数据范围与提示
样例解释：从左往右上 (1) 的菜，再上 (9) 的菜，高兴值是 (0 imes 1+1 imes 9) ，从右往左走回来的时候上 (7) 的菜，高兴值是 (7 imes 9) ，总的高兴值就是 (72) 。
对于 (30\%) 的数据(nleq9,nin N^+)；
对于 (70\%) 的数据(nleq1500,nin N^+)；
对于 (100\%) 的数据(nleq2500,nin N^+)；
所有数字小于（含结果） (2147483648) ；
思路
题意中的来回两次直接 (dp) 的话，还需要记录第一次走的路径，很麻烦。
根据之前的方格取数，我们也可以把这个题转换成两个小烈送菜。
定义 (dp[i][j]) 为有两个小烈同时从厨房开始送菜，第一个小烈到达 (i) 的位置，第二个小烈到达 (j) 的位置，所能取到的最大值。
有一个很重要的性质：(dp[i][j]=dp[j][i])。
第一个小烈送到 (i) 的位置，第二个小烈送到 (j) 的位置与第一个小烈送到 (j) 的位置，第二个小烈送到 (i) 的位置所得的结果是相同的。
动态转移方程：
第一个小烈由 (i) 送到 (i+1) 的位置。
(dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j]+a[i]*a[i+1]))
或者第二个小烈由 (j) 送到 (i+1) 的位置。
(dp[i][i+1]=max(dp[i][i+1],dp[i][j]+a[j]*a[i+1]))
根据之前的性质，可以把转移方程转化为：
(dp[i+1][i]=max(dp[i+1][i],dp[i][j]+a[j]*a[i+1]))
这样保证了 (dp[i][j]) 中的 (i) 一定会大于 (j)，便于处理。
最后在寻找一遍最大值即可。
代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=2500+50;
int n,ans;
int a[maxn];
int dp[maxn][maxn];
int main(){
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++){
scanf("%d",&a[i]);
}
for(int i=1;i<=n;i++){
for(int j=0;j<i;j++){
dp[i+1][j]=max(dp[i+1][j],dp[i][j]+a[i]*a[i+1]);//前面那个处于i位置的小烈送i+1的菜
dp[i+1][i]=max(dp[i+1][i],dp[i][j]+a[j]*a[i+1]);//后面那个处于j位置的小烈送i+1的菜，并根据性质翻转
}
}
for(int i=0;i<n;i++){
ans=max(ans,dp[n][i]+a[n]*a[i]);//前面那个小烈送到n的位置，但是不确定后面那个小烈在哪里，所以以此枚举
}
cout<<ans<<endl;
return 0;
}