循环小数与费马小定理

循环小数与费马小定理
17/05/29 22:30:51 | Snakes
背景
　　题目出自之前亮灯问题、杨辉三角与Sierpinski三角形提及的生日题中的第三、四、五题。

题目
　　第三题　证明：对于任意非(2, 5)倍数正整数(n)且满足(n>1)，均存在正整数(k, i)满足(kn=10^i-1)。
　　第四题　证明：在(k)进制下((k>1))，任何形如(a/b)（(a, b)均为正整数）的数均为有限小数或无限循环小数。
　　第五题　证明：在上一问条件下，若(b)与(k)互质则(a/b)为无限循环小数，若(a)的质因子为(k)的质因子的子集则(a/b)为有限小数。

答案
　　既然是证明题，那么就没有标准答案。以下提供一种可行的思路并且再探讨另一个问题：(k)进制下(b/a)若循环，那么它的循环节长度(len)是多少？

　　接下来，我们将要分节讨论了。

无限循环小数
　　在(k)进制下，若有数(x)满足其为(0<x<1)的纯循环小数（即其循环节从小数点后第(1)位开始｜思考：若为混循环小数或大于(1)的纯循环小数，有什么办法将其转化求解呢？）且其循环节长度为(len)，循环节中数字为(y)，则我们可得(xcdot k^{len}-x=y)。(xcdot k^{len})相当于将第一个循环节移动到小数点左侧，与(x)相减就得到循环节中的数字(y)。整理可得(y/(k^{len}-1)=x)。

　　所以，我们可得结论：数(x=a/b)为无限循环小数的条件为存在整数(len, i)满足(bi=k^{len}-1)。这个式子中，(k)取(10)的情形即第三题的提问。

　　思考题答案：若为大于(1)的纯循环小数，可表示成一个整数与一个(0)与(1)之间纯循环小数的和，因为整数一定能表示成任意整数作分母的分数形式，对小数部分讨论之后将整数部分加上去即可。对于混循环小数，可以乘以(k)的次幂，将小数点移动到循环节前，按照大于(1)的纯循环小数处理，最后乘以(k)的次幂的倒数即可。

费马小定理
　　对于质数(p)，与(p)互质的整数(a)，有下式成立：

[a^{p-1}equiv 1 pmod p ]

　　这是接下来将要用到的定理。如何证明？

　　引理(1)：对于整数(a, b, c)与正整数(p)，若(c, p)互质，(acequiv bc pmod p)，则有(aequiv b pmod p)。

　　证明：
　　移项得：

[egin{align}ac-bc&equiv 0 pmod p\ (a-b)c&equiv 0 pmod pend{align} ]

　　因为(c, p)互质，所以有：

[egin{align}a-b&equiv 0pmod p\ a&equiv bpmod pend{align} ]

　　引理(2)：对于整数(p)满足(p>1)，与(p)互质的整数(b)以及模(p)的完全剩余系(a_1, a_2, .. ,a_m)，有(ba_1, ba_2, .. ,ba_m)构成模(p)的完全剩余系。

　　证明：
　　若其不构成模(p)的完全剩余系，则有(ba_iequiv ba_j pmod p)成立，由引理(1)得，有(a_i equiv a_j pmod p)成立，与条件不符，因此(ba_iequiv ba_j pmod p)不成立，则(ba_1, ba_2, .. ,ba_m)构成模(p)的完全剩余系。

　　费马小定理：

　　构造模(p)下的完全剩余系({0, 1, 2, .. , p-1})，由引理(2)得({0, a , 2a, .. , (p-1)a})也为模(p)下的完全剩余系。可得(1 imes 2 imes .. imes (p-1)equiv a imes 2a imes .. imes (p-1)a pmod p)成立。则有((p-1)!equiv a^{p-1}(p-1)! pmod p)成立。因为(p)为质数，所以((p-1)!)与(p)互质，根据引理(1)得(1equiv a^{p-1}pmod p)成立。

两者之间的关系
　　之前提及，数(x=a/b)为无限循环小数的条件为存在整数(len, i)满足(bi=k^{len}-1)。而费马小定理则告诉我们，对于质数(p)，与(p)互质的整数(a)，有(a^{p-1}equiv 1 pmod p)。当(b)为质数，(a=k)时显然有(k^{b-1}-1equiv 0 pmod b)，也就是说，存在整数(len, i)满足条件。

　　但是当(b)不为质数但与(k)互质时怎么办？不妨将(b)分解质因数，令(b=p_1^{q_1} imes p_2^{q_2} imes .. imes p_n^{q_n})（此处翻车），根据欧拉定理（在(b, p)互质下有(p^{varphi(b)}equiv 1pmod b)），则分别有(k^{varphi(p_i^{q_i})} equiv 1 pmod {p_i^{q_i}})成立，其中(1leq i leq n)。可知有(k^{c(p_i-1)p_i^{q_i-1}} equiv 1 pmod {p_i^{q_i-1}})成立。别忘了欧拉函数是积性函数，所以有下式成立：

[k^{frac{[(p_1-1)p_1^{q_1-1}][(p_2-1)p_2^{q_2-1}]..[(p_n-1)p_n^{q_n-1}]}{gcd[(p_1-1)p_1^{q_1-1}, (p_2-1)p_2^{q_2-1}, .. , (p_n-1)p_n^{q_n-1}]}}equiv 1 pmod b ]

　　即：

[k^{frac{varphi(p_1^{q_1})varphi(p_2^{q_2}).. varphi(p_n^{q_n})}{gcd[ varphi(p_1^{q_1}),varphi(p_2^{q_2}), .. , varphi(p_n^{q_n})]}}equiv 1 pmod b ]

　　并且由于积性函数，我们有：

[varphi(b) equiv 0 pmod {frac{varphi(p_1^{q_1})varphi(p_2^{q_2}).. varphi(p_n^{q_n})}{gcd[ varphi(p_1^{q_1}),varphi(p_2^{q_2}), .. , varphi(p_n^{q_n})]}} ]

　　所以大多数情况下（(b)与(k)互质）时循环节长度最小值(len)能被(varphi(b))整除。

　　而对于(b)与(k)不互质的情况，我们要分类讨论。若(b)的质因数为(k)的质因数的子集，那么(a/b)乘以(k)的次幂一定可以得到一个整数，则(a/b)为有限小数。若不为子集，则我们将(a/b)乘以(k)的次幂，消除交集部分质因数的影响，转为(b)与(k)互质的情况继续讨论。这其实与之前思考题的解决方法一致。通过分类讨论，我们可以解决第四题与第五题。

　　所以，将(k=10)代入，我们可以证得第三题（对于任意非(2, 5)倍数正整数(n)且满足(n>1)，均存在正整数(k, i)满足(kn=10^i-1)。）成立。

结论
　　在(k)进制下，形如(a/b)（(a, b)均为整数）的分数（最简形式），若(b)与(k)互质，则(a/b)为纯循环小数。若(b)质因数与(k)质因数有交集且(b)质因数不为(k)质因数子集，则(a/b)为混循环小数。否则若(b)质因数为(k)质因数的子集，(a/b)为有限小数。

　　当(a/b)为循环小数时，在大多数情况下其循环节长度(len=frac{varphi(b)}{gcd[ varphi(p_1^{q_1}),varphi(p_2^{q_2}), .. , varphi(p_n^{q_n})]})。不难发现有(lenleq (b-1))且当(b)为质数时(len)取到(b-1)。