哈希法又称散列法、杂凑法以及关键字地址计算法等，相应的表称为哈希表。这种方法的基本思想是：首先在元素的关键字k和元素的存储位置p之间建立一个对应关系f，使得p=f(k)，f称为哈希函数。创建哈希表时，把关键字为k的元素直接存入地址为f(k)的单元；以后当查找关键字为k的元素时，再利用哈希函数计算出该元素的存储位置p=f(k)，从而达到按关键字直接存取元素的目的。
当关键字集合很大时，关键字值不同的元素可能会映象到哈希表的同一地址上，即 k1≠k2 ，但 H（k1）=H（k2），这种现象称为冲突，此时称k1和k2为同义词。实际中，冲突是不可避免的，只能通过改进哈希函数的性能来减少冲突。
综上所述，哈希法主要包括以下两方面的内容：
1）如何构造哈希函数
2）如何处理冲突。
8.4.1 哈希函数的构造方法
构造哈希函数的原则是：①函数本身便于计算；②计算出来的地址分布均匀，即对任一关键字k，f(k) 对应不同地址的概率相等，目的是尽可能减少冲突。
下面介绍构造哈希函数常用的五种方法。
1． 数字分析法
如果事先知道关键字集合，并且每个关键字的位数比哈希表的地址码位数多时，可以从关键字中选出分布较均匀的若干位，构成哈希地址。例如，有80个记录，关键字为8位十进制整数d1d2d3…d7d8，如哈希表长取100，则哈希表的地址空间为：00~99。假设经过分析，各关键字中 d4和d7的取值分布较均匀，则哈希函数为：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d4d7。例如，h(81346532)=43，h(81301367)=06。相反，假设经过分析，各关键字中 d1和d8的取值分布极不均匀， d1 都等于5，d8 都等于2，此时，如果哈希函数为：h(key)=h(d1d2d3…d7d8)=d1d8，则所有关键字的地址码都是52，显然不可取。
2． 平方取中法
当无法确定关键字中哪几位分布较均匀时，可以先求出关键字的平方值，然后按需要取平方值的中间几位作为哈希地址。这是因为：平方后中间几位和关键字中每一位都相关，故不同关键字会以较高的概率产生不同的哈希地址。
例：我们把英文字母在字母表中的位置序号作为该英文字母的内部编码。例如K的内部编码为11，E的内部编码为05，Y的内部编码为25，A的内部编码为01, B的内部编码为02。由此组成关键字“KEYA”的内部代码为11052501，同理我们可以得到关键字“KYAB”、“AKEY”、“BKEY”的内部编码。之后对关键字进行平方运算后，取出第7到第9位作为该关键字哈希地址，如图8.23所示。
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关键字 |
内部编码 |
内部编码的平方值 |
H(k)关键字的哈希地址 |
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KEYA |
11050201 |
122157778355001 |
778 |
|
KYAB |
11250102 |
126564795010404 |
795 |
|
AKEY |
01110525 |
001233265775625 |
265 |
|
BKEY |
02110525 |
004454315775625 |
315 |
图8.23平方取中法求得的哈希地址
3． 分段叠加法
这 种方法是按哈希表地址位数将关键字分成位数相等的几部分（最后一部分可以较短），然后将这几部分相加，舍弃最高进位后的结果就是该关键字的哈希地址。具体 方法有折叠法与移位法。移位法是将分割后的每部分低位对齐相加，折叠法是从一端向另一端沿分割界来回折叠（奇数段为正序，偶数段为倒序），然后将各段相 加。例如：key=12360324711202065,哈希表长度为1000，则应把关键字分成3位一段，在此舍去最低的两位65，分别进行移位叠加和折叠叠加，求得哈希地址为105和907，如图8.24所示。
1 2 3 1 2 3
6 0 3 3 0 6
2 4 7 2 4 7
1 1 2 2 1 1
+） 0 2 0 +） 0 2 0
———————— —————————
1 1 0 5 9 0 7
（a）移位叠加 (b) 折叠叠加
图8.24 由叠加法求哈希地址
4． 除留余数法
假设哈希表长为m，p为小于等于m的最大素数，则哈希函数为
h（k）=k % p ，其中%为模p取余运算。
例如，已知待散列元素为（18，75，60，43，54，90，46），表长m=10，p=7，则有
h(18)=18 % 7=4 h(75)=75 % 7=5 h(60)=60 % 7=4
h(43)=43 % 7=1 h(54)=54 % 7=5 h(90)=90 % 7=6
h(46)=46 % 7=4
此时冲突较多。为减少冲突，可取较大的m值和p值，如m=p=13，结果如下：
h(18)=18 % 13=5 h(75)=75 % 13=10 h(60)=60 % 13=8
h(43)=43 % 13=4 h(54)=54 % 13=2 h(90)=90 % 13=12
h(46)=46 % 13=7
此时没有冲突，如图8.25所示。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
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|
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54 |
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43 |
18 |
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46 |
60 |
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75 |
|
90 |
图8.25 除留余数法求哈希地址
5． 伪随机数法
采用一个伪随机函数做哈希函数，即h(key)=random(key)。
在实际应用中，应根据具体情况，灵活采用不同的方法，并用实际数据测试它的性能，以便做出正确判定。通常应考虑以下五个因素 ：
l 计算哈希函数所需时间 （简单）。
l 关键字的长度。
l 哈希表大小。
l 关键字分布情况。
l 记录查找频率
8.4.2 处理冲突的方法
通过构造性能良好的哈希函数，可以减少冲突，但一般不可能完全避免冲突，因此解决冲突是哈希法的另一个关键问题。创建哈希表和查找哈希表都会遇到冲突，两种情况下解决冲突的方法应该一致。下面以创建哈希表为例，说明解决冲突的方法。常用的解决冲突方法有以下四种：
1. 开放定址法
这种方法也称再散列法，其基本思想是：当关键字key的哈希地址p=H（key）出现冲突时，以p为基础，产生另一个哈希地址p1，如果p1仍然冲突，再以p为基础，产生另一个哈希地址p2，…，直到找出一个不冲突的哈希地址pi ，将相应元素存入其中。这种方法有一个通用的再散列函数形式：
Hi=（H（key）+di）% m i=1，2，…，n
其中H（key）为哈希函数，m 为表长，di称为增量序列。增量序列的取值方式不同，相应的再散列方式也不同。主要有以下三种：
l 线性探测再散列
dii=1，2，3，…，m-1
这种方法的特点是：冲突发生时，顺序查看表中下一单元，直到找出一个空单元或查遍全表。
l 二次探测再散列
di=12，-12，22，-22，…，k2，-k2 ( k<=m/2 )
这种方法的特点是：冲突发生时，在表的左右进行跳跃式探测，比较灵活。
l 伪随机探测再散列
di=伪随机数序列。
具体实现时，应建立一个伪随机数发生器，（如i=(i+p) % m），并给定一个随机数做起点。
例如，已知哈希表长度m=11，哈希函数为：H（key）= key % 11，则H（47）=3，H（26）=4，H（60）=5，假设下一个关键字为69，则H（69）=3，与47冲突。如果用线性探测再散列处理冲突，下一个哈希地址为H1=（3 + 1）% 11 = 4，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H2=（3 + 2）% 11 = 5，还是冲突，继续找下一个哈希地址为H3=（3 + 3）% 11 = 6，此时不再冲突，将69填入5号单元，参图8.26 (a)。如果用二次探测再散列处理冲突，下一个哈希地址为H1=（3 + 12）% 11 = 4，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H2=（3 - 12）% 11 = 2，此时不再冲突，将69填入2号单元，参图8.26 (b)。如果用伪随机探测再散列处理冲突，且伪随机数序列为：2，5，9，……..，则下一个哈希地址为H1=（3 + 2）% 11 = 5，仍然冲突，再找下一个哈希地址为H2=（3 + 5）% 11 = 8，此时不再冲突，将69填入8号单元，参图8.26 (c)。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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47 |
26 |
60 |
69 |
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（a） 用线性探测再散列处理冲突
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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69 |
47 |
26 |
60 |
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（b） 用二次探测再散列处理冲突
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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47 |
26 |
60 |
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69 |
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（c） 用伪随机探测再散列处理冲突
图8.26开放地址法处理冲突
从上述例子可以看出，线性探测再散列容易产生“二次聚集”，即在处理同义词的冲突时又导致非同义词的冲突。例如，当表中i, i+1 ,i+2三个单元已满时，下一个哈希地址为i, 或i+1 ,或i+2，或i+3的元素，都将填入i+3这同一个单元，而这四个元素并非同义词。线性探测再散列的优点是：只要哈希表不满，就一定能找到一个不冲突的哈希地址，而二次探测再散列和伪随机探测再散列则不一定。
2. 再哈希法
这种方法是同时构造多个不同的哈希函数：
Hi=RH1（key） i=1，2，…，k
当哈希地址Hi=RH1（key）发生冲突时，再计算Hi=RH2（key）……，直到冲突不再产生。这种方法不易产生聚集，但增加了计算时间。
3. 链地址法
这种方法的基本思想是将所有哈希地址为i的元素构成一个称为同义词链的单链表，并将单链表的头指针存在哈希表的第i个单元中，因而查找、插入和删除主要在同义词链中进行。链地址法适用于经常进行插入和删除的情况。
例如，已知一组关键字（32，40，36，53，16，46，71，27，42，24，49，64），哈希表长度为13，哈希函数为：H（key）= key % 13，则用链地址法处理冲突的结果如图8.27所示：
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