HDU 5793 A Boring Question (逆元+快速幂+费马小定理) ---2016杭电多校联合第六场

A Boring Question

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Problem Description

 

 

 

Input

 

The first line of the input contains the only integer T,(1≤T≤10000)
Then T lines follow,the i-th line contains two integers n,m,(0≤n≤109,2≤m≤109)

 

Output

For each n and m,output the answer in a single line.

 

Sample Input

2 1 2 2 3

 

Sample Output

3 13

 

Author

UESTC

 

Source

2016 Multi-University Training Contest 6

 

Recommend

wange2014

 

题意：有m个数，求c(k2,k1)*c(k3,k2).....*c(km,km-1)的值，每个数的值在[0,n]之间，求所有情况的值的总和。

题解：首先看题目中的条件 And (kj+1kj)=0 while kj+1<kj 所以我们只需要考虑非递减序列即可. 也就是说把该问题转化为n的阶乘除以组成n的m个数的各自阶乘的积，首先进行打表：

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
int n,m;
long long C[1005][1005];
long long mod = 1000000007;
long long cal(int cur,int pre) {
    if(cur==m+1) return 1;
    long long ans = 0;
    for(int i=pre;i<=n;i++) {
        //printf("%lld
",C[i][pre]);
        ans+=C[i][pre]*cal(cur+1,i)%mod;
        ans%=mod;
    }
    return ans;
}
int main() {
    C[0][0] = 1;
    C[1][0]=C[1][1]=1;
    for(int i=2;i<=1000;i++) {
        C[i][0] = 1;
        C[i][i] = 1;
        for(int j=1;j<i;j++) {
            C[i][j] = (C[i-1][j] + C[i-1][j-1])%mod;
        }
    }
    int data[10][10];
    memset(data,0,sizeof(data));
    for(int j=2;j<=5;j++)
    {
        for(int i=0;i<=5;i++)
        {
            n=i,m=j;
            printf("n: %d   m: %d  ",n,m);
            printf("%lld
",cal(1,0));
        }
    }
    while(scanf("%d%d",&n,&m)!=EOF) {
        printf("%lld
",cal(1,0));
    }
}

运行结果如下：

仔细观察结果我们可以发现，这是等比数列前n项和，即m^ 0+m^1+m^ 2+m^3+.....+m ^n=(m^(n+1)-1)/(m-1);答案是对mod=1e9+7取模的，我们知道mod是一个素数，且m的范围是int，所以gcd(m,mod)=1; 所以满足费马小定理的条件，根据费马小定理我们得知分母m-1对mod的逆元为(m-1)^(mod-2); ans=(m^(n+1)-1)%mod*(m-1)^(mod-2)%mod;利用快速幂即可求出结果。

AC代码：

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <cstring>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod=1000000007;
ll pow1(ll a,ll b)
{
    ll ans=1;
    while(b)
    {
        if(b&1)
        {
            ans=ans*a%mod;
        }
        b>>=1;
        a=a*a%mod;
    }
    return ans;
}
int main()
{
    int t;
    ll n,m;
    cin>>t;
    while(t--)
    {
        cin>>n>>m;
        ll ans1,ans2,ans3;
        ans1=(pow1(m,n+1)-1+mod)%mod;
        ans2=(pow1(m-1,mod-2)+mod)%mod;
        ans3=ans1*ans2%mod;
        //cout<<pow1(2,4)<<endl;
        //cout<<ans1<<endl<<ans2<<endl;
        cout<<ans3<<endl;
    }
    return 0;
}

 官方给出的公式推导表示没看懂。