概述：
费马小定理和欧拉定理是数论中非常重要的两个定理,对解决整除问题和同余问题有着强大的功能。
费马小定理与欧拉定理
费马小定理：当 (m) 为质数且 (a) 不为 (m) 的倍数（即：(gcd(a,m) = 1)时有 $a^{m−1}≡1 mod (m) $
另一个形式：对于任意整数 (a) ，有 (a^m equiv a pmod{m}) 。
根据费马小定理可知： (a^{m−2}) 就是 (a) 在模 (m) 意义下的逆元.
欧拉定理：当 (a) , (m) 互质时, (aϕ(m)≡ 1 mod (m)) （这个式子也可以求逆元）
其实根据欧拉函数，我们可以看出费马小定理就是欧拉定理的特殊情况，因为若 (m) 为质数：$ ϕ(m)=m−1$
简单来说欧拉函数 φ(n) 是小于等于 n 的正整数中与 n 互质的数的个数。
费马小定理证明
设一个质数为 (p) ，我们取一个不为 (p) 倍数的数 (a) 。
构造一个序列： (A={1,2,3dots,p-1}) ，这个序列有着这样一个性质：
证明：
又因为每一个 (A_i imes a pmod p) 都是独一无二的，且 (A_i imes a pmod p < p)
得证（每一个 (A_i imes a) 都对应了一个 (A_i) )
设 (f=(p-1)!) , 则 (fequiv a imes A_1 imes a imes A_2 imes a imes A_3 dots imes A_{p-1} pmod p)
证毕。
应用
首先看一个基本的例子。
令 (a = 3，n = 5)，这两个数是互素的。
比 (5) 小的正整数中与 (5) 互素的数有 (1、2、3和4)，所以 (φ(5)=4)。
计算: (a^{φ(n)} = 3^4 =81)，而 (81= 80 + 1 ≡ 1 （mod 5）)。
与定理结果相符。
简化幂的模运算
这个定理可以用来简化幂的模运算。
比如计算(7^{222})的个位数，实际是求7(^{222})被(10)除的余数。
(7)和(10)互素，且(φ(10)=4)。
由欧拉定理知(7^4≡1 (mod 10))。
所以(7^{222}=(7^4)^55*(7^2)≡1^{55}*7^2≡49≡9 (mod 10))。
欧拉定理证明
实际上这个证明过程跟上文费马小定理的证明过程是非常相似的： 构造一个与 (m) 互质的数列 ，再进行操作。
设 (r_1, r_2, cdots, r_{varphi(m)}) 为模 (m) 意义下的一个简化剩余系，则 (ar_1, ar_2, cdots, ar_{varphi(m)}) 也为模 (m) 意义下的一个简化剩余系。所以 (r_1r_2 cdots r_{varphi(m)} equiv ar_1 cdot ar_2 cdots ar_{varphi(m)} equiv a^{varphi(m)}r_1r_2 cdots r_{varphi(m)} pmod{m}) ，可约去 (r_1r_2 cdots r_{varphi(m)}) ，即得 (a^{varphi(m)} equiv 1 pmod{m}) 。
当 (m) 为素数时，由于 (varphi(m) = m - 1) ，代入欧拉定理可立即得到费马小定理。
参考
Wiki：https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%B4%B9%E9%A9%AC%E5%B0%8F%E5%AE%9A%E7%90%86