网络流在 OI 中是显得尤为重要的。在《算法导论》中就用了 35 页来讲述网络流的知识，在这里，给大家介绍网络流中的一些基本知识。
网络
首先，请分清楚 网络 （或者流网络，Flow Network）与 网络流 （Flow）的概念。
网络是指一个有向图 (G=(V,E)) 。
每条边 ((u,v)in E) 都有一个权值 (c(u,v)) ，称之为容量（Capacity），当 ((u,v) otin E) 时有 (c(u,v)=0) 。
其中有两个特殊的点：源点（Source） (sin V) 和汇点（Sink） (tin V,(s eq t)) 。
流
设 (f(u,v)) 定义在二元组 ((uin V,vin V)) 上的实数函数且满足
- 容量限制：对于每条边，流经该边的流量不得超过该边的容量，即， (f(u,v)leq c(u,v))
- 斜对称性：每条边的流量与其相反边的流量之和为 0，即 (f(u,v)=-f(v,u))
- 流守恒性：从源点流出的流量等于汇点流入的流量，即 (forall xin V-{s,t},sum_{(u,x)in E}f(u,x)=sum_{(x,v)in E}f(x,v))
那么 (f) 称为网络 (G) 的流函数。对于 ((u,v)in E) ， (f(u,v)) 称为边的 流量 ， (c(u,v)-f(u,v)) 称为边的 剩余容量 。整个网络的流量为 (sum_{(s,v)in E}f(s,v)) ，即 从源点发出的所有流量之和 。
一般而言也可以把网络流理解为整个图的流量。而这个流量必满足上述三个性质。
注：流函数的完整定义为
[f(u,v)=left{egin{split}
&f(u,v)&,(u,v)in E\
&-f(v,u)&,(v,u)in E\
&0&,(u,v)
otin E,(v,u)
otin E
end{split}
ight.
]
网络流的常见问题
网络流问题中常见的有以下三种：最大流，最小割，费用流。
最大流
我们有一张图，要求从源点流向汇点的最大流量（可以有很多条路到达汇点），就是我们的最大流问题。
最小费用最大流
最小费用最大流问题是这样的：每条边都有一个费用，代表单位流量流过这条边的开销。我们要在求出最大流的同时，要求花费的费用最小。
最小割
割其实就是删边的意思，当然最小割就是割掉 (X) 条边来让 (S) 跟 (T) 不互通。我们要求 (X) 条边加起来的流量综合最小。这就是最小割问题。