原题说明：给定一个按照升序排列的整数数组 nums，和一个目标值 target。找出给定目标值在数组中的开始位置和结束位置。
你的算法时间复杂度必须是 O(log n) 级别。
如果数组中不存在目标值，返回 [-1, -1]。
原题链接：https://leetcode-cn.com/problems/find-first-and-last-position-of-element-in-sorted-array
题目分析：
这道题目当然也是用二分查找来解题。经过上道题的教训，这次我详细考察了各个实例的可能（特别是空集以及数组元素比较少的时候可能出现的各种情况）。
那么整体上，这道题我当时觉得要写两个查找算法的函数，
PART1：第一个用于“随便”确定一个索引位置，其数值只要是目标值即可。
PART2：以索引值分别作为左半区间和右半区间的右边界和左边界，两边各自做一个二分查找。起初觉着第二部分用一个函数就行，后来在代入左半区间查找的时候发现，应该拆成两个函数会更方便一些。
下面是具体分析——
PART1：找到索引值
先po源代码
1 private int[] locate(int[] nums, int left, int right, int target) { 2 int mid = (left+right+1)>>1; 3 int val = -1; 4 while(left<=right) { 5 if(nums[mid]==target) { 6 val = mid; 7 break; 8 } 9 else if(nums[mid]<target) { 10 left=mid+1; 11 mid=(left+right+1)>>1; 12 } 13 else if(nums[mid]>target) { 14 right=mid-1; 15 mid=(left+right+1)>>1; 16 } 17 } 18 //val=(nums[left]==target)?left:val; 19 int[] borders = {left,right,val}; 20 return borders; 21 }
有上一篇的博客分析铺垫，二分查找的细节这里就不多提。需要说明的是我这里最后输出的变量形式，为什么要一起输出二分查找最后的左边界和右边界呢？这里给出一个实例${0,1,1,1,2,3,4,5,5,5}$，那么当$target$是$1$的时候，最后这部分查找完，左边界索引应该是$0$，右边界索引是$4$，查找到的索引值是$2$，那么之后的查找范围就迅速缩小了。
PART2：
分析左边区间的查找，代码如下
1 private int left_binary_search(int[] nums, int left, int right, int target) { 2 int mid = (left+right+1)>>1; 3 int val = right; 4 5 while(left<=right) { 6 if(nums[mid]<target) { 7 left=mid+1; 8 mid=(left+right+1)>>1; 9 } 10 else { 11 if(mid>0&&nums[mid-1]==target) { 12 right=mid-1; 13 mid=(left+right+1)>>1; 14 } 15 else if(mid>0&&nums[mid-1]!=target) { 16 val = mid; 17 break; 18 } 19 else if(mid==0) 20 return 0; 21 } 22 } 23 return val; 24 }
首先，返回值$val$在这里是作为最后输出的左边界。那么我设定输出值的初值就是上一步查找得到的索引值，这样就包括了最后数组中只有一个目标值得情况，同时也是左边区间的右边界。
然后需要分成两种情况讨论（如图1）：
情况1，$nums[mid]<target$，那么这个时候目标值应该在搜索区间的右半边（默认递增数列）。此时应该移动左边界。
情况2，$nums[mid]==target$，即算法找到了左边区间内目标值的位置。但是这里要注意，标准的二分查找此时应该结束，然而题目要求需要找到所有重复的目标值的索引，所以需要让$mid$指针继续移动。怎么做呢？
可以看图2，由于是递增数列，那么在本情况下，$mid$到$right$之间应该都是目标值，若还要继续，则应该在$mid-1$的索引位置出现目标值，$right$取值$mid-1$；反之，则结束（因为重复数字必然构成连续）或继续查找直到满足循环的终止条件。
这里比较担心的情况是数组越界。所以对于左区间，在分支语句的判断条件上加入了$mid>0$，确保$mid-1$一定有值可以取到。
再考虑边界情况，即第一个元素若是目标值怎么办?这里推导一下上一步，如果$nums[left]==target, left=0$，那么$nums[mid]$必然等于$target$，且有$mid-1==left$，此时是满足第11行的判断条件的，所以$right=mid-1$（附带一句，此前$right==1$或$right==2$）。这样一来，得到新的$mid$值为$0$。所以，只要设定$mid$等于$0$时，返回$0$。见图4
这里还想讨论一下，是否需要考虑情况3，即$nums[mid]>target$?我的想法是，不需要。因为左半区间作为一个递增数组，右边界就已经是目标值了，那么左半区间的所有元素都只能小于和等于目标值。
右半区间的查找类似。代码如下
1 private int right_binary_search(int[] nums, int left, int right, int target) { 2 int mid = (left+right+1)>>1; 3 int val = left; 4 5 while(left<=right) { 6 if(nums[mid]>target) { 7 right=mid-1; 8 mid=(left+right+1)>>1; 9 } 10 else { 11 if(mid+1<nums.length&&nums[mid+1]==target) { 12 left=mid+1; 13 mid=(left+right+1)>>1; 14 } 15 else if (mid+1<nums.length&&nums[mid+1]!=target) { 16 val = mid; 17 break; 18 } 19 else if (mid+1==nums.length) {20 return nums.length-1; 21 } 22 } 23 } 24 return val; 25 }
同样的，左边界就是PART1中的索引值，同时作为返回值$val$的初始值，该变量是最后输出的右边界。
考虑的情况也是类似的，分成两种情况（如图4）：
情况1，$nums[mid]>target$时，与之前的情况是相反的，所以此时应该移动右边界。
情况2，$nums[mid]==target$时，考虑情况也是类似的，只是数组越界的具体考虑不一样。我总结了一下，这里可以这么考虑，正常情况下，$mid$是可以取值$length-1$的，所以是mid $leq$ nums.length $-1$。那么由于考虑到$mid+1$的越界情况，所以$mid<nums.length - 1$
在边界条件上的考虑，也是类似的，故在此不再赘述。
最后是主函数的代码
1 public int[] searchRange(int[] nums, int target) { 2 int[] range = {-1,-1}; 3 if(nums == null || nums.length < 1) 4 return range; 5 6 7 int left = 0, right = nums.length-1; 8 int mid; 9 int leftborder, rightborder; 10 11 int[] borders = locate(nums, left, right, target); 12 left=borders[0];right=borders[1];mid=borders[2]; 13 14 if (mid != -1) { 15 leftborder = left_binary_search(nums, left, mid, target); 16 rightborder = right_binary_search(nums, mid, right, target); 17 range[0]=leftborder; 18 range[1]=rightborder; 19 } 20 21 return range; 22 }
这里看到第14行，如果在第一次二分查找定位索引时，就没有找到，那么自然返回$-1$ ，于是就没有再进行左右区间分别查找的必要了（我突然在想，这部分其实可以是同时执行？）；反之，在左右区间得到的左右边界（也可呢就是第一部分查找得到的索引值）就是输出的范围。
总结：
- 对所有的情况要穷尽
- 考虑数组越界的可能要好好推导
- 对于边界条件要举例分析
- 对二分查找的认识更深入（指针移动，对半快速搜索）