【力扣算法】数组（4）：下一个排列

原题说明：实现获取下一个排列的函数，算法需要将给定数字序列重新排列成字典序中下一个更大的排列。

如果不存在下一个更大的排列，则将数字重新排列成最小的排列（即升序排列）。

必须原地修改，只允许使用额外常数空间。

以下是一些例子，输入位于左侧列，其相应输出位于右侧列。
1,2,3 → 1,3,2
3,2,1 → 1,2,3
1,1,5 → 1,5,1

原题链接：https://leetcode-cn.com/problems/next-permutation

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题意分析：

先给出几个实例

1）123 → 132

2）10203 → 10230

3）102320  → 103022

4）1079864  → 1084679

5）321  → 123

6）98700  → 00789

以上是用LeetCode自带的控制台直接测试的，也算是本道题的一个小收获。

本题的解题过程将随着实例的难度增加而不断拓展。

解法一：暴力求解

本道题用暴力求解是不可行的，时间复杂度是xx。

解法二：我的解法（也是官方题解）

PART1：

从实例（1）（2）可以看出，遍历应该从右往左进行。设遍历的循环变量为$i$，一旦找到$operatorname{nums}[i-1]$小于$operatorname{nums}[i]$，就说明对于当前数组排列下的整数，已经有一个比它大的数。从这点可以认为，本道题就是在做一次（大小）排列——一旦完成排列，就是所谓的“下一个”数，故操作结束。

所以第一代代码完成的就很快，如下（手写的、没有用IDE测试过）

for(int i = nums.length - 1;i>=0 ; i--){
	if(nums[i-1]>nums[i])//3，2，1
		i--;
	else {
		swap(nums, nums[i-1], nums[i]);
		break;
	}
}

这里后接的代码就是用于满足实例（5）和（6）的。我当时的想法是，最终满足这两个实例的条件就是给到的数组是一个递减的数组。一旦有两个相邻位置不满足，那么就像上文所说的，一次交换之后就可以直接作为结果输出了。

当然，我对这样的不定式是进行过推导的，当时所有的实例都是没有问题，后来我发现，问题就出现在“两个相邻位置”。

PART2：

于是就看到了实例（3）的情况。这种情况出现的原因可以这样分析——

假设整数为$(j+k-1)(j+k)(j+k-2) cdots(j)$，当对头两位数字进行交换时，得到的结果是$(j+k)(j+k-1)(j+k-2) cdots(j)$。从形式上看，得到是一个递减数列，但是从题目要求看却应该是$(j+k)(j)(j+1) cdots(j+k-1)$。换言之，真正的下一位，应该是最大的位数+1，然后其余位数进行递增排列。试想999到10000，9变成了10，其余的位数都是最小的0。

所以代码应该是当进行大小交换后，对交换数字右边的全部数字进行递增排列。

这里涉及到两个问题：1）如何递增？2）在这个基础上不定式的推导是否安全？

对于第一个问题，先要了解目标数列是什么情况？无序的、还是有序的？显然是有序的，且是递减的。

有数列${x-1, x, y, z, m, n}$，假设${y, z, m, n}$是无序的，若$m<n$，那么开始遍历时，就已经进行了交换（看上去就是实例（1）），由此根本不再涉及${x-1, x}$的交换，矛盾；如果不是递减的，同样可以采用$m<n$的例子说明，矛盾。

然后对于这个递减数列如何变成递增呢？直接的算法就是排序算法。但是一来题目有要求，二来真的有必要么？由于是有序数列，递减变成递增还可以通过交换数列两端的数字完成。该部分代码如下：

private void reverse(int[] nums, int L, int R) {
	while(L<R){
		swap(nums, L, R);
		L++; R--;
	}
}

这里又涉及到循环条件的考虑。若数列包含偶数个元素，自然$L<R$就足够满足；若是奇数个元素，似乎中间元素取不到，所以当时我想应该设置条件为$L leq R$，但是转念一想中间元素何须交换呢？所以当$L$和$R$都取到中间元素时，就可以终止了。

对于第二个问题，考虑就比较复杂，这就涉及到$L$的取值，这里初步确定$L$等于循环变量$i$；$R$等于$nums.length-1$——

如图a，当$i$取$nums .$length$-1$时，$L=R$，如无需进行颠倒数列的操作

 

如图b，当$i$取$nums .$length$-2$时，$L=nums.length-2$，在交换之后、再进行一次颠倒即可（偶数个）。

 

如图c，当$i$取$nums .$length$-3$时，$L=nums.length-3$，在交换之后、再进行一次颠倒即可（奇数个）。

 

由此，可以推导至所有情况，故安全。

这样的话，之前的程序可以改进为：

for(int i = nums.length - 1;i>=0 ; i--){
	if(nums[i-1]>nums[i])
		i--;
	else {
		swap(nums, nums[i-1], nums[i]);
                reverse(nums, i, nums.length - 1);
		break;
	}
}

　　

PART3：

关于相邻的问题，还引出了实例（4）的情况。这种情况的实质就是，交换的对象不一定是相邻的，或者说，为了得到下一更大的数字，应该在出现需要交换时，在交换的数字（索引为$i-1$）右边的数列中找到比数字大的最小值进行交换。这里查找的依据仍然是这个数列是递减数列。代码如下

private int search(int[] nums, int head, int headindex) {
	int index = headindex;
	while(index<nums.length) {
		if(nums[index]<=head) {//2,3,2,0
			index--; 
			return index;
		}
		index++;
	}
	return --index;//1,2,3
}

代码的思路就是从$i$处开始自左往右遍历，找到第一个比$i-1$小的数字的位置$index$，由于是递减数列，所以交换位置应该是$index-1$。然后接下去就是swap操作。

这里同样有两个问题——

第一个问题已经用注释给出实例了。若要被交换的数字是$2$，数列是$320$，那么第一个比$2$小的数字是$0$，如此一来就是$2$和数列中的$2$进行交换了，这就达不成目的。所以应该设置比较条件是小于等于（第4行）。

第二个问题出现在实例为$123$的情况下，即数组越界。这种情况是因为$3>2$，循环变量只能继续迭代，但是已经满足终止条件（此时$index=nums.length$），由于返回是$index$，此时将其作为索引进行交换时，就会越界。查到原因后才将第10行代码改成--index（一开始是index--，仍然错误）

那另一种解决方案就是知道这种情况的前提下，直接返回$nums.length-1$

PART4：

以上问题解决之后，就是面对实例（5）和实例（6）了，直接上源码——

public int[] nextPermutation(int[] nums) {
    if(nums.length < 1 || nums == null)
        return nums;
    
    int i = nums.length - 1;
    while(i>=1) {
        if(nums[i]<=nums[i-1])
            i--;
        else {
            int head = nums[i-1];
            int swapindex = search(nums, head, i);
            swap(nums, i-1, swapindex);
            reverse(nums, i, nums.length - 1);
            break;
        }
    }
    if(i==0)
        reverse(nums, i, nums.length - 1);
    return nums;
}

private int search(int[] nums, int head, int headindex) {
    int index = headindex;
    while(index<nums.length) {
        if(nums[index]<=head) {//2,3,2,0
            index--; 
            return index;
        }
        index++;
    }
    return nums.length - 1;
}

private void swap(int[] nums, int a, int b) {
    int tmp = nums[a];
    nums[a] = nums[b];
    nums[b] =tmp;      
}

private void reverse(int[] nums, int L, int R) {
    while(L<R){
        swap(nums, L, R);
        L++; R--;
    }
}

第7到15行就是PART1的增强版，解决了实例（1）-（4）。这里需要关注的是第6行循环的条件。一开始很自然地以为是$i geq 0$，但是看第8行就知道，当$i=0$时，这行执行时就会数组越界。故循环条件为$i geq 1$。

一旦$i=0$（while循环会导出循环变量），就说明整个数列是一个递减的数列、即是一个最大值，因此，下一个大值就是返回最小值了，直接进行颠倒操作。

那么其实我在PART1的时候，考虑到的情况应该是987000 → 70089，所以我当时想的是，应该还要有额外的标记。但是给的结果就是000789，我也没有办法。。。

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总结：

　　

这次我意识到了

• 找合适实例的价值
• 对于边界条件的推导也更有耐心