hdu3506 Monkey Party (区间dp+四边形不等式优化)

题意：给n堆石子，每次合并相邻两堆，花费是这两堆的石子个数之和（1和n相邻），求全部合并，最小总花费

若不要求相邻，可以贪心地合并最小的两堆。然而要求相邻就有反例

为了方便，我们可以把n个数再复制一遍，放到第n个数后，就不用考虑环的问题了

我们设f[i][j]为合并区间[i,j]所需要的最小花费，然后就可以得到

f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+sum[i,j]} ,i<=k<=j,i<j;

f[i][i]=0

然后就可以用$O(n^3)$的复杂度递推啦。此题结束。

然而n<=1000...

四边形不等式：

若f[i][j]=min{f[i][k]+f[k+1][j]+w[i][j]} ,i<=k<=j；

　s[i][j]为使f[i][j]取到最小值的k ，其中有(a<=b<=c<=d)

　　1.w[b][c]<=w[a][d] （w满足区间包含单调性）

　　2.w[a][c]+w[b][d]<=w[b][c]+w[a][d] （w满足四边形不等式）

　则f也满足四边形不等式（*）

　所以s[i][j-1]<=s[i][j]<=s[i+1][j] （**）

*、**:太麻烦了不证了！

于是就可以优化刚才的dp（sum显然满足以上两点），每次的k不是从i枚举到j，而是从s[i][j-1]枚举到s[i+1][j]，这样，平摊下来，就可以在O(1)复杂度完成f[i][j]的计算

然而我很沙雕的设f[i][j]表示长度为i，从j开始的区间了..虽然影响不大但是感觉写起来变得有点迷

然后按照我的写法，n=1的时候是要特判的...

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<vector>
#include<queue>
#include<cmath>
#define LL long long int
#define inf 0x3f3f3f3f
using namespace std;
const int maxn=2010;

LL rd(){
    LL x=0;char c=getchar();int neg=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-') neg=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-'0',c=getchar();
    return x*neg;
}

int N,num[maxn];
int f[maxn][maxn][2],sum[maxn];

int main(){
    int i,j,k;
    while(~scanf("%d",&N)){
        int ans=inf;
        for(i=1;i<=N;i++) num[i+N]=num[i]=rd();
        if(N==1){printf("0
");continue;}
        for(i=1;i<=2*N;i++) sum[i]=sum[i-1]+num[i],f[1][i][1]=i;
        for(i=2;i<=N;i++){
            for(j=1;j<2*N-i+1;j++){
                f[i][j][0]=inf;
                for(k=f[i-1][j][1];k<=f[i-1][j+1][1];k++){
                    int a=f[k-j+1][j][0]+f[i-k+j-1][k+1][0];
                    if(a<f[i][j][0]) f[i][j][0]=a,f[i][j][1]=k;
                }f[i][j][0]+=sum[i+j-1]-sum[j-1];
            if(i==N) ans=min(ans,f[i][j][0]);
            }
        }printf("%d
",ans);
    }
    
    return 0;
}