最小生成树（Kruskal和Prim算法）
关于图的几个概念定义：
- 连通图：在无向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该无向图为连通图。
- 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点vi与vj都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
- 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
- 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
- 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。
下面介绍两种求最小生成树算法
1.Kruskal算法
此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。
1. 把图中的所有边按代价从小到大排序；
2. 把图中的n个顶点看成独立的n棵树组成的森林；
3. 按权值从小到大选择边，所选的边连接的两个顶点ui,vi,应属于两颗不同的树，则成为最小生成树的一条边，并将这两颗树合并作为一颗树。
4. 重复(3),直到所有顶点都在一颗树内或者有n-1条边为止。
2.Prim算法
此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。
- 图的所有顶点集合为V；初始令集合u={s},v=V−u;
- 在两个集合u,v能够组成的边中，选择一条代价最小的边(u0,v0)，加入到最小生成树中，并把v0并入到集合u中。
- 重复上述步骤，直到最小生成树有n-1条边或者n个顶点为止。
由于不断向集合u中加点，所以最小代价边必须同步更新；需要建立一个辅助数组closedge,用来维护集合v中每个顶点与集合u中最小代价边信息，：
1 struct 2 { 3 char vertexData //表示u中顶点信息 4 UINT lowestcost //最小代价 5 }closedge[vexCounts]
3.完整代码
1 #include <iostream> 2 #include <vector> 3 #include <queue> 4 #include <algorithm> 5 using namespace std; 6 #define INFINITE 0xFFFFFFFF 7 #define VertexData unsigned int //顶点数据 8 #define UINT unsigned int 9 #define vexCounts 6 //顶点数量 10 char vextex[] = { 'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F' }; 11 struct node 12 { 13 VertexData data; 14 unsigned int lowestcost; 15 }closedge[vexCounts]; //Prim算法中的辅助信息 16 typedef struct 17 { 18 VertexData u; 19 VertexData v; 20 unsigned int cost; //边的代价 21 }Arc; //原始图的边信息 22 void AdjMatrix(unsigned int adjMat[][vexCounts]) //邻接矩阵表示法 23 { 24 for (int i = 0; i < vexCounts; i++) //初始化邻接矩阵 25 for (int j = 0; j < vexCounts; j++) 26 { 27 adjMat[i][j] = INFINITE; 28 } 29 adjMat[0][1] = 6; adjMat[0][2] = 1; adjMat[0][3] = 5; 30 adjMat[1][0] = 6; adjMat[1][2] = 5; adjMat[1][4] = 3; 31 adjMat[2][0] = 1; adjMat[2][1] = 5; adjMat[2][3] = 5; adjMat[2][4] = 6; adjMat[2][5] = 4; 32 adjMat[3][0] = 5; adjMat[3][2] = 5; adjMat[3][5] = 2; 33 adjMat[4][1] = 3; adjMat[4][2] = 6; adjMat[4][5] = 6; 34 adjMat[5][2] = 4; adjMat[5][3] = 2; adjMat[5][4] = 6; 35 } 36 int Minmum(struct node * closedge) //返回最小代价边 37 { 38 unsigned int min = INFINITE; 39 int index = -1; 40 for (int i = 0; i < vexCounts;i++) 41 { 42 if (closedge[i].lowestcost < min && closedge[i].lowestcost !=0) 43 { 44 min = closedge[i].lowestcost; 45 index = i; 46 } 47 } 48 return index; 49 } 50 void MiniSpanTree_Prim(unsigned int adjMat[][vexCounts], VertexData s) 51 { 52 for (int i = 0; i < vexCounts;i++) 53 { 54 closedge[i].lowestcost = INFINITE; 55 } 56 closedge[s].data = s; //从顶点s开始 57 closedge[s].lowestcost = 0; 58 for (int i = 0; i < vexCounts;i++) //初始化辅助数组 59 { 60 if (i != s) 61 { 62 closedge[i].data = s; 63 closedge[i].lowestcost = adjMat[s][i]; 64 } 65 } 66 for (int e = 1; e <= vexCounts -1; e++) //n-1条边时退出 67 { 68 int k = Minmum(closedge); //选择最小代价边 69 cout << vextex[closedge[k].data] << "--" << vextex[k] << endl;//加入到最小生成树 70 closedge[k].lowestcost = 0; //代价置为0 71 for (int i = 0; i < vexCounts;i++) //更新v中顶点最小代价边信息 72 { 73 if ( adjMat[k][i] < closedge[i].lowestcost) 74 { 75 closedge[i].data = k; 76 closedge[i].lowestcost = adjMat[k][i]; 77 } 78 } 79 } 80 } 81 void ReadArc(unsigned int adjMat[][vexCounts],vector<Arc> &vertexArc) //保存图的边代价信息 82 { 83 Arc * temp = NULL; 84 for (unsigned int i = 0; i < vexCounts;i++) 85 { 86 for (unsigned int j = 0; j < i; j++) 87 { 88 if (adjMat[i][j]!=INFINITE) 89 { 90 temp = new Arc; 91 temp->u = i; 92 temp->v = j; 93 temp->cost = adjMat[i][j]; 94 vertexArc.push_back(*temp); 95 } 96 } 97 } 98 } 99 bool compare(Arc A, Arc B) 100 { 101 return A.cost < B.cost ? true : false; 102 } 103 bool FindTree(VertexData u, VertexData v,vector<vector<VertexData> > &Tree) 104 { 105 unsigned int index_u = INFINITE; 106 unsigned int index_v = INFINITE; 107 for (unsigned int i = 0; i < Tree.size();i++) //检查u,v分别属于哪颗树 108 { 109 if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), u) != Tree[i].end()) 110 index_u = i; 111 if (find(Tree[i].begin(), Tree[i].end(), v) != Tree[i].end()) 112 index_v = i; 113 } 114 115 if (index_u != index_v) //u,v不在一颗树上，合并两颗树 116 { 117 for (unsigned int i = 0; i < Tree[index_v].size();i++) 118 { 119 Tree[index_u].push_back(Tree[index_v][i]); 120 } 121 Tree[index_v].clear(); 122 return true; 123 } 124 return false; 125 } 126 void MiniSpanTree_Kruskal(unsigned int adjMat[][vexCounts]) 127 { 128 vector<Arc> vertexArc; 129 ReadArc(adjMat, vertexArc);//读取边信息 130 sort(vertexArc.begin(), vertexArc.end(), compare);//边按从小到大排序 131 vector<vector<VertexData> > Tree(vexCounts); //6棵独立树 132 for (unsigned int i = 0; i < vexCounts; i++) 133 { 134 Tree[i].push_back(i); //初始化6棵独立树的信息 135 } 136 for (unsigned int i = 0; i < vertexArc.size(); i++)//依次从小到大取最小代价边 137 { 138 VertexData u = vertexArc[i].u; 139 VertexData v = vertexArc[i].v; 140 if (FindTree(u, v, Tree))//检查此边的两个顶点是否在一颗树内 141 { 142 cout << vextex[u] << "---" << vextex[v] << endl;//把此边加入到最小生成树中 143 } 144 } 145 } 146 147 int main() 148 { 149 unsigned int adjMat[vexCounts][vexCounts] = { 0 }; 150 AdjMatrix(adjMat); //邻接矩阵 151 cout << "Prim :" << endl; 152 MiniSpanTree_Prim(adjMat,0); //Prim算法，从顶点0开始. 153 cout << "-------------" << endl << "Kruskal:" << endl; 154 MiniSpanTree_Kruskal(adjMat);//Kruskal算法 155 return 0; 156 }
