算法疑难(c++实现)---1、快速幂

算法疑难(c++实现)---1、快速幂

一、总结

一句话总结：

比如在求a^11的时候，快速幂就是利用11的二进制1011，也即11=2º×1+2¹×1+2²×0+2³×1=1+2+8，将a^11转化为a^1*a^2*a^8，从而用O(logn)的时间复杂度求解

#include <iostream>
using namespace std;

int pow(int a,int n){
   int ans=1,base=a;
   while(n){
       if(n%2==1) ans=ans*base;
       base=base*base;
       n=n/2;
   }
   return ans;
}

int main(){
    cout<<pow(2,22)<<endl;
    return 0;
}

1、快速幂取模的原理？

根据同余定理，我们知道，(a*b)%m=((a%m)*(b%m))%m；其实快速幂取模也是用到这个

#include <iostream>
using namespace std;

const int mod=10007;

int pow(int a,int n){
   int ans=1,base=a%mod;
   while(n){
       if(n%2==1) ans=(ans*base)%mod;
       base=(base*base)%mod;
       n=n/2;
   }
   return ans;
}

int main(){
    cout<<pow(2,110)<<endl;
    return 0;
}

二、快速幂

博客对应课程的视频位置：1、快速幂
https://www.fanrenyi.com/video/30/280

1、朴素求法

/*
最朴素的求幂方法
也就是平常使用pow函数，最简单的实现就是一直累乘

比如求a^n

*/
#include <iostream>
using namespace std;

int pow(int a,int n){
   int ans=1;
   for(int i=1;i<=n;i++){
       ans*=a;
   } 
   return ans;
}

int main(){
    cout<<pow(2,22)<<endl;
    return 0;
}

/*

可以看到，算法的时间复杂度是O(n)。为了降低时间复杂度，
我们可以使用快速幂算法，
将时间复杂度降低到O(logn)。

*/

2、快速幂

/*

快速幂：

首先，快速幂的目的就是做到快速求幂，

假设我们要求a^n，那么其实n是可以拆成二进制的，
例如当n==11时
11的二进制是1011，
11 =2º×1+2¹×1+2²×0+2³×1=1+2+8，
所以
a^11=a^1*a^2*a^8
原来算11次，现在只需要算三次

具体怎么算呢：
我们可以用一个变量base来在每次循环的时候记录a^i，
最开始base是a
然后每次循环让base=base*base
那么base的值
a-->a^2-->a^4-->a^8-->a^16-->a^32.......
然后根据11的二进制，1011，
取位为1时候的base值即可，
也就是取a，a^2，a^8

由此可以得到代码：


*/

#include <iostream>
using namespace std;

int pow(int a,int n){
   int ans=1,base=a;
   while(n){
       if(n%2==1) ans=ans*base;
       base=base*base;
       n=n/2;
   }
   return ans;
}

int main(){
    cout<<pow(2,22)<<endl;
    return 0;
}



/*

n 11
ans a
base a^2

n 5
ans a*a^2
base a^2*a^2=a^4

n 2
ans a*a^2
base a^4*a^4=a^8

n 1
ans a*a^2*a^8
base a^8*a^8=a^16

n 0

*/

3、快速幂求模

/*
因为求幂运算得到的结果一般很大
所以一般需要对求幂的结果进行取模
所以下面就来说说快速幂取模的操作

根据同余定理，我们知道
(a*b)%m = ((a%m)*(b%m))%m；
其实快速幂取模也是用到这个


*/

#include <iostream>
using namespace std;

const int mod=10007;

int pow(int a,int n){
   int ans=1,base=a%mod;
   while(n){
       if(n%2==1) ans=(ans*base)%mod;
       base=(base*base)%mod;
       n=n/2;
   }
   return ans;
}

int main(){
    cout<<pow(2,110)<<endl;
    return 0;
}