算法与数据结构---6.5、斐波那契数列-递归解法

算法与数据结构---6.5、斐波那契数列-递归解法

一、总结

一句话总结：

递推法的递推表达式就是递归的各个元素之间的关系，所以递推表达式明确之后，递归的代码也就特别好写了

#include <iostream>
using namespace std;
const int mod=1000000007;

int find(int n){
   if(n==1||n==2) return 1;
   else{
       return (find(n-1)+find(n-2))%mod;
   }
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    cout<<find(n)<<endl;
    return 0;
}

二、斐波那契数列

博客对应课程的视频位置：6.5、斐波那契数列-递归解法
https://www.fanrenyi.com/video/27/277

1、题目描述

问题描述：

满足F1=F2=1，F(n)=F(n-1)+F(n-2)的数列称为斐波那契数列（Fibonacci），
它的前若干项是1，1，2，3，5，8，13，21，34，55...，求此数列第n项 mod 10^9+7的值（n>=3）。

输入格式：
一行一个正整数n

输出格式：
一行一个整数表示答案。

输入输出样例：
输入5，输出5
输入10，输出55

【数据范围】
对于60%的数据，1<=n<=92；
对于100%的数据，1<=n<2^63。


题目位置：
P1962 斐波那契数列 - 洛谷 | 计算机科学教育新生态
https://www.luogu.com.cn/problem/P1962

2、递推解法

 1 /*
 2 
 3 递推关系式：
 4 题目中已经非常明显的给出了，就是
 5 F(n)=F(n-1)+F(n-2)
 6 
 7 解决递推问题的一般步骤
 8 1、建立递推关系式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
 9 2、确定边界条件：
10 f(1)=f(2)=1，
11 所以我们的循环可以从3开始，到n结束，
12 也就是3-n
13 
14 算法步骤：
15 1、确定初始值
16 2、循环做递推，3-n
17 
18 */
19 #include <iostream>
20 using namespace std;
21 const int mod=1000000007;
22 int f[200000];
23 int main(){
24     int n;
25     cin>>n;
26     //1、确定初始值
27     f[1]=f[2]=1;
28     //2、循环做递推，3-n
29     for(int i=3;i<=n;i++){
30         //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
31         f[i]=(f[i-1]+f[i-2])%mod;
32     }
33     cout<<f[n]<<endl;
34     return 0;
35 }

3、滚动数组优化

 1 /*
 2 
 3 之前的最大子段和的动态规划的优化的时候，
 4 我们讲了滚动数组优化，
 5 原因是 对应的状态转移方程为：
 6 f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)
 7 里面只用到了f[i]和f[i-1]这两个元素，
 8 所以可以用只有两个元素的数组来优化
 9 
10 我们现在的递推表达式是：
11 f[i]=f[i-1]+f[i-2] (3<=i<=n)
12 里面用到了f[i]、f[i-1]和f[i-2]三个元素，
13 所以可以用含有三个元素的数组来优化
14 
15 滚动数组的代码修改也很简单
16 直接在递推表达式有i的位置%3即可
17 f[i%3]=f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3];
18 （%3是因为现在是有三个元素的滚动数组）
19 
20 注意：
21 取结果的时候，n也需要模3，例如f[n%3]
22 
23 */
24 
25 #include <iostream>
26 using namespace std;
27 const int mod=1000000007;
28 int f[3];
29 int main(){
30     int n;
31     cin>>n;
32     //1、确定初始值
33     f[1]=f[2]=1;
34     //2、循环做递推，3-n
35     for(int i=3;i<=n;i++){
36         //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
37         f[i%3]=(f[(i-1)%3]+f[(i-2)%3])%mod;
38     }
39     //注意n也需要模3
40     cout<<f[n%3]<<endl;
41     return 0;
42 }

4、递推和动态规划的关系

/*

上述代码也就是这个题目动态规划的写法

动态规划里面有状态，状态转移方程
递推里面初始值，递推表达式
其实动态规划里面的状态转移方程，就是递推表达式
动态规划里面的初始状态，就是递推里面的初始值

所以动态规划可以看做是一种特殊的递推，
动态规划可以看做保存中间状态（中间结果）的递推

对于这题：
状态可以设置为：f[i]为 斐波那契数列第n项 mod 10^9+7的值
那么状态转移方程就是递推表达式：F(n)=F(n-1)+F(n-2)
初始状态：f[1]=f[2]=1

*/

5、三个变量解法

 1 /*
 2 f[3] 可以直接用3个变量a、b、c来代替
 3 这个时候就不能通过取模来自动变换位置了
 4 
 5 
 6 */
 7 #include <iostream>
 8 using namespace std;
 9 const int mod=1000000007;
10 int main(){
11     int n;
12     int a,b,c;
13     cin>>n;
14     //1、确定初始值
15     //这里对a也赋值为1，是为了保证n=1和n=2的时候也有正确结果输出
16     c=a=b=1;
17     //2、循环做递推，3-n
18     for(int i=3;i<=n;i++){
19         //F(n)=F(n-1)+F(n-2)
20         c=(b+a)%mod;
21         //保留f(n)和f(n-1)做下一轮的f(n-1)和f(n-2)
22         a=b;
23         b=c;
24     }
25     cout<<c<<endl;
26     return 0;
27 }

6、递归写法

/*

本题递推法的递推的关系式非常明确，就是f[i]=f[i-1]+f[i-2]
递推法的递推关系式，对应到递归，就是递归的各个元素之间的关系
明确这个，递归的代码就特别好敲

递归注意点
递归的终止条件：n=2和n=1
递归的递推表达式：f[i]=f[i-1]+f[i-2] (3<=i<=n)
递归的返回值：所求值（斐波那契数列第n项 mod 10^9+7的值）

*/
#include <iostream>
using namespace std;
const int mod=1000000007;

int find(int n){
   if(n==1||n==2) return 1;
   else{
       return (find(n-1)+find(n-2))%mod;
   }
}

int main(){
    int n;
    cin>>n;
    cout<<find(n)<<endl;
    return 0;
}