算法与数据结构---4.7、最大子段和-动态规划

算法与数据结构---4.7、最大子段和-动态规划

一、总结

一句话总结：

a、最大子段和有对应的动态规划的解法，找到题目的规律，

b、根据规律设置状态f[i]表示以第i个元素结尾的子序列的最大值，

c、那么状态转移方程为f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[200005];
int f[200005]={0};
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    cin>>a[1];
    f[1]=a[1];
    //1、确定动态规划初始条件：f[1]=a[1]
    int maxx=f[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        //2、动态规划操作：f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)
        f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]);
        //3、求ans：Answer=max{f[i]|1<=i<=n}
        maxx=max(f[i],maxx);
    }
    cout<<maxx<<endl;
    return 0;
}

1、动态规划能够优化枚举的原理？

动态规划能够优化，是因为找准了状态之间的转移关系（找到了题目的规律），并且存储了中间的状态，减少了大量重复求状态的计算，所以动态规划一般效率非常高

二、内容在总结中

博客对应课程的视频位置：4.7、最大子段和-动态规划
https://www.fanrenyi.com/video/27/269

1、题目描述

最大子段和（最大连续子序列的和）

题目描述
给出一个长度为 n 的序列 a，选出其中连续且非空的一段使得这段和最大。

输入格式
第一行是一个整数，表示序列的长度 n。
第二行有 n 个整数，第 i 个整数表示序列的第 i 个数字 ai

输出格式
输出一行一个整数表示答案。

输入输出样例
输入
7
2 -4 3 -1 2 -4 3
输出
4

说明/提示
样例解释
选取 [3,5] 子段{3,−1,2}最大，其和为 4。

数据规模与约定
对于40%的数据，保证n<=2×10^3
对于100%的数据，保证1<=n<=2×10^5, -10^4<=a[i]<=10^4

题目提交位置：
P1115 最大子段和 - 洛谷
https://www.luogu.com.cn/problem/P1115

2、枚举解法

 1 /*
 2 枚举法
 3 
 4 分析：
 5 我们可以直接按照题目的要求来枚举就好了
 6 
 7 题目的要求是要 求a[1]-a[n]中连续非空的一段的和最大
 8 那么我们把每个连续的一段都枚举出来，然后来算出里面的和，找出最大值即可
 9 
10 所以在这个需求下：
11 我们需要枚举每一段的起点、每一段的终点
12 然后对这一段进行求和
13 
14 枚举变量：每一段的起点、终点
15 枚举范围：起点：1-n，终点：起点-n
16 枚举判断条件：
17 求和得到每一段的和，在这些和里面选出最大的
18 
19 时间复杂度：
20 O(n^3)
21 
22 算法思路：
23 1、枚举每一段的起点和终点
24 2、对每一段进行求和，在这些和里面选出最大的
25 
26 */
27 #include <iostream>
28 using namespace std;
29 int a[200005];
30 int main(){
31     int n;
32     cin>>n;
33     int maxx=-0x7fffffff;
34     for(int i=1;i<=n;i++){
35         cin>>a[i];
36     }
37     //1、枚举每一段的起点和终点
38     for(int i=1;i<=n;i++){
39         for(int j=i;j<=n;j++){
40             //2、对每一段进行求和，在这些和里面选出最大的
41             int sum=0;
42             for(int k=i;k<=j;k++){
43                 sum+=a[k];
44             }
45             if(sum>maxx) maxx=sum;
46         }
47     }
48     cout<<maxx<<endl;
49     return 0;
50 }

3、枚举优化

 1 /*
 2 枚举优化
 3 
 4 可以把求和的那层循环去掉，我们可以对数据做预处理
 5 用s[i]表示第一个数到第i个数这个序列的和
 6 
 7 那么求s[i-j]（第i个数到第j个数这个序列的和）的时候，
 8 可以直接用s[j]-s[i]+a[i]即可
 9 s[j]-s[i]表示的是i+1到j这个序列的和，所以需要加上a[i]
10 
11 现在的时间复杂度：
12 O(n)+O(n^2)=O(n^2)
13 
14 优化方法：
15 减少重复计算
16 
17 
18 */
19 #include <iostream>
20 using namespace std;
21 int a[200005];
22 int s[200005]={0};
23 int main(){
24     int n;
25     cin>>n;
26     int maxx=-0x7fffffff;
27     for(int i=1;i<=n;i++){
28         cin>>a[i];
29         s[i]=s[i-1]+a[i];
30     }
31     //1、枚举每一段的起点和终点
32     for(int i=1;i<=n;i++){
33         for(int j=i;j<=n;j++){
34             //2、对每一段进行求和，在这些和里面选出最大的
35             int sum=s[j]-s[i]+a[i];
36             if(sum>maxx) maxx=sum;
37         }
38     }
39     cout<<maxx<<endl;
40     return 0;
41 }

4、分治解法

  1 /*
  2 
  3 样例
  4 7
  5 2 -4 3 -1 2 -4 3
  6 
  7 分治解法
  8 假定a[1]-a[n]的序列对应的区间[l...r]，其中间位置为mid，其最大和的子序列为[i...j]。
  9 那么显然，最大连续子序列的位置只有三种可能：
 10 ①完全处于序列的左半：l<=i<=j<=mid
 11 ②跨越序列中间：i<=mid<=j<=r
 12 ③完全处于序列的右半：mid<i<=j<=r
 13 
 14 
 15 只需要分别求出三种情况下的值，取他们最大的即可。
 16 其中，很容易求出第二种情况，第二种情况也就是包含mid的子序列，
 17 也就是[i...mid...j]，而求[i...mid...j]的最大值，
 18 即求出区间[i..mid]的最大值maxx1与区间[mid..j]的最大值maxx2，将其合并即可。
 19 合并之后就变成了[i...mid mid...j]，mid出现了两次，要减掉一次
 20 所以[i...mid...j]的最大值就是maxx1+maxx2-mid
 21 
 22 复杂度O(n)
 23 如何处理第一种和第三种情况呢？
 24 也不难发现，
 25 第一种情况，其实就是求区间[l..mid]中的最大值，
 26 第三种情况就是求区间[mid+1..r]中的最大值。那么，只需递归求出即可。
 27 显然，该解法的复杂度为O(nlogn)通过此题是没问题的。
 28 
 29 
 30 算法时间复杂度
 31 O(nlogn)：二分是logn，处理第二种情况是n，所以合起来就是O(nlogn)
 32 
 33 
 34 如何求区间[i..mid]的最大值与区间[mid..j]的最大值，
 35 换句话说，也就是如何求以mid为尾的子序列的最大值 和 以mid为头的子序列的最大值
 36 先说以mid为头的子序列的最大和
 37 也就是[mid]，[mid...mid+1]，[mid...mid+2]......[mid...mid+j]这些序列里面的最大值
 38 int maxx2=-0x7fffffff;
 39 int sum2=0;
 40 for(int k=mid;k<=j;k++){
 41     sum2+=a[k];
 42     maxx2=max(sum2,maxx2);
 43 }
 44 
 45 求以mid为尾的子序列的最大和
 46 int maxx1=-0x7fffffff;
 47 int sum1=0;
 48 for(int k=mid;k>=i;k--){
 49     sum1+=a[k];
 50     maxx1=max(sum1,maxx1);
 51 }
 52 
 53 maxx1+maxx2-a[mid]
 54 
 55 
 56 递归做分治：
 57 a、递归的终止条件：
 58 因为我们的递归是为了求l到r序列的子序列的最大值，
 59 所以当区间只有一个元素时，就是终止条件，那个元素就是子序列的最大值
 60 b、递归的递推表达式：比较方式1、2、3的最大值。第2种跨越mid值的需要我们去计算，1,3种情况又转化成了子问题
 61 c、递归的返回值：子序列的最大和
 62 
 63 
 64 算法步骤：
 65 1、计算第二种跨越mid情况的序列的最大和
 66 2、比较方式1、2、3的最大值
 67 
 68 
 69 
 70 样例：
 71 4
 72 -1 3 -1 -2
 73 结果是3 
 74 
 75 mid=(1+4)/2 2
 76 ①完全处于序列的左半：l...mid：-1 3  对应的是3
 77 ②跨越序列中间：3+3-3=3
 78 ③完全处于序列的右半：mid+1...r：-1 -2 对应的结果是-1
 79 
 80 -1 3
 81 mid=1
 82 ①完全处于序列的左半：l...mid：-1
 83 ②跨越序列中间：-1+2-(-1)=2
 84 ③完全处于序列的右半：mid+1...r：3
 85 
 86 */
 87 #include <iostream>
 88 #include <algorithm>
 89 using namespace std;
 90 int a[200005];
 91 //分治（二分）求最大连续子序列的和
 92 int find(int l,int r){
 93     if(l==r) return a[l];
 94     int mid=(l+r)/2;
 95     //1、计算第二种跨越mid情况的序列的最大和
 96     //a、求以mid为尾的子序列的最大和
 97     int maxx1=-0x7fffffff;
 98     int sum1=0;
 99     for(int k=mid;k>=l;k--){
100         sum1+=a[k];
101         maxx1=max(sum1,maxx1);
102     }
103 
104     //b、求以mid为头的子序列的最大和
105     int maxx2=-0x7fffffff;
106     int sum2=0;
107     for(int k=mid;k<=r;k++){
108         sum2+=a[k];
109         maxx2=max(sum2,maxx2);
110     }
111 
112     //2、比较方式1、2、3的最大值
113     return max(max(find(l,mid),find(mid+1,r)),maxx1+maxx2-a[mid]);
114 }
115 
116 int main(){
117     int n;
118     cin>>n;
119     for(int i=1;i<=n;i++){
120         cin>>a[i];
121     }
122     cout<<find(1,n)<<endl;
123     return 0;
124 }

5、没用好分治创造的信息的分治法

下面代码是没用用好分治创造的信息的分治法代码，只能过两个点
而用好分治法创造的信息的分治法代码，可以过所有点

  1 /*
  2 
  3 本题分治优化原理
  4 
  5 比如贪心能够优化，是因为贪心着眼于局部的最优策略，
  6 只枚举了极少的局部的情况，所以贪心法有时候不一定对，但是一般效率都还可以
  7 动态规划能够优化，是因为找准了状态之间的转移关系，并且存储了中间的状态，
  8 减少了大量重复求状态的计算，所以动态规划一般效率非常高
  9 
 10 
 11 为什么这道题目（最大连续子序列和）使用分治能够进行优化，
 12 其实分治本身只是一种策略，告诉我们要如何去枚举，分治本身并不减少枚举的次数
 13 所以分治能够得到正确的解，肯定也是枚举了所有的情况，
 14 那为什么分治就过了所有的点，
 15 也就是对比枚举优化的O(n^2)的算法（也是枚举了所有的情况），
 16 分治为什么能变成O(nlogn)，
 17 O(nlogn)相比于O(n^2)肯定是少枚举了很多情况
 18 而我们的分治算法又是对的，
 19 那说明分治算法少枚举的情况都是一些无关紧要的情况，
 20 现在的问题就是，
 21 分治到底少枚举了哪些情况
 22 也就是为什么分治可以优化
 23 
 24 可以从以下两个点来分析
 25 (1)、分治将问题规模变小，将问题的规模变小之后，有些时候需要枚举的情况也会变少，
 26 a、假设分治内部用到的算法是O(n^2)，假设n是10，原先的10^2=100>二分后的2*5^2=50
 27 b、假设分治内部用到的算法是O(n)，假设n是10，原先的10>=二分后的2*5
 28 a里面看似减少了枚举情况，其实并没有，因为减少的情况跑到②跨越序列中间：i<=mid<=j<=r
 29 所以分治将问题的规模变小并没有减少枚举的情况
 30 
 31 (2)、情况②跨越序列中间的算法是O(n)的算法-->(分治优化的关键)
 32 第二种情况：子序列一定包含mid
 33 （转换成）===>
 34 即求出区间[i..mid]的最大值与区间[mid..j]的最大值，将其合并即可
 35 
 36 那么我们枚举包含mid的子序列的算法是O(n^2)
 37 枚举变量：起点和终点
 38 枚举范围：起点:i...mid，终点:mid...j
 39 
 40 结论：
 41 分治本身不能优化算法，
 42 因为分治还是需要将所有可能的情况枚举出来，选最优解，
 43 而分治真正能够优化算法的是：分治里面应用到的策略
 44 
 45 我们在分治的过程中创造了信息
 46 我们在用分治算法的时候，就创造了下面这些信息
 47 子序列的情况只能是这三种情况里面的一种
 48 ①完全处于序列的左半：l<=i<=j<=mid
 49 ②跨越序列中间：i<=mid<=j<=r
 50 ③完全处于序列的右半：mid<i<=j<=r
 51 
 52 （所以这题就分成三种情况，情况1和3都是递归子问题，
 53 而情况2，利用分治的信息（包含mid），成功的将枚举O(n^2)的算法优化到了O(n)，
 54 自然就减少了一些不必要的枚举的情况）
 55 
 56 强调：
 57 分治能够优化，不在与分治这种策略，而是这种分治策略创造了信息，
 58 让我们可以拿这个信息去优化枚举
 59 
 60 我们之前反复强调，优化枚举法，需要就是信息、关系式、等式，
 61 而分治法优化的实质就是分治的过程中给我们创造信息，创造了关系式，
 62 从而减少枚举情况
 63 
 64 
 65 枚举法能够优化的实质是什么
 66 枚举法能够优化的实质是有信息（关系式、等式、条件）可以让我们减少枚举情况（减少枚举范围、减少枚举变量、减少不必要的枚举）
 67 比如在这个题里面，没有信息，我们通过分治就创造了这些信息，从而通过分治法优化了枚举
 68 
 69 
 70 分治能够优化枚举的实质是什么
 71 a、分治其实只是一种枚举策略，只能改变枚举的方式，并不能减少枚举的次数
 72 b、分治能够优化枚举，不在于分治这种策略，而是这种分治策略创造了信息（比如本题第二种情况子序列一定包含mid），让我们可以拿这个信息去优化枚举
 73 
 74 
 75 */
 76 
 77 //下面代码是没用好分治创造的信息的分治法代码，只能过两个点
 78 //而用好分治法创造的信息的分治法代码，可以过所有点
 79 #include <iostream>
 80 #include <algorithm>
 81 using namespace std;
 82 int a[200005];
 83 int s[200005]={0};
 84 //分治（二分）求最大连续子序列的和
 85 int find(int l,int r){
 86     if(l==r) return a[l];
 87     int mid=(l+r)/2;
 88     //1、计算第二种跨越mid情况的序列的最大和
 89     int maxx=-0x7fffffff;
 90     for(int i=l;i<=mid;i++){
 91         for(int j=mid;j<=r;j++){
 92             //2、对每一段进行求和，在这些和里面选出最大的
 93             int sum=s[j]-s[i]+a[i];
 94             if(sum>maxx) maxx=sum;
 95         }
 96     }
 97 
 98     //2、比较方式1、2、3的最大值
 99     return max(max(find(l,mid),find(mid+1,r)),maxx);
100 }
101 
102 int main(){
103     int n;
104     cin>>n;
105     for(int i=1;i<=n;i++){
106         cin>>a[i];
107         s[i]=s[i-1]+a[i];
108     }
109     cout<<find(1,n)<<endl;
110     return 0;
111 }

6、贪心解法

 1 /*
 2 
 3 贪心是每次选择的是局部最优解，
 4 首先开始，只有a[1]，那么这个a[1]就是最优解，也就是连续非空子序列中和最大的
 5 然后我们每增加一个数a[i]，
 6 那么对a[i]而言（也就是说如果我们在子序列中必选a[i]的时候），
 7 如果a[i]之前的序列和大于0，a[i]加上它可以组成子序列的和肯定比只有a[i]更大，
 8 也就是a[i]<a[i]+s[i-1]
 9 如果a[i]之前的序列和小于等于0，那么a[i]完全可以不要之前的序列，
10 也就是a[i]>=a[i]+s[i-1]
11 
12 这里表示的a[i]之前的序列，说的是以a[i-1]结尾的连续非空子序列中和最大的序列s[i-1]
13 
14 我们这里的对a[i]而言，也就是假设了必定选中a[i]的情况
15 换言之，我们上面贪心的过程求到的最优解就是以a[i]为结尾的子序列和s[i]最大的的局部最优解
16 而这里，我们在所有的s[i]中找最大的，即max(s[i]|1<=i<=n)，
17 那么就可以求出a[1]-a[n]所有子序列的全局最优解
18 所以这个题目是可以用贪心来做的，就是可以由局部最优解得到全局最优解
19 
20 
21 强调一遍 这题为什么可以用贪心来做：
22 因为局部最优解表示的是以a[i]为结尾的子序列和最大的s[i]，
23 而全局最优解直接在所有的s[i]中找最大的就可以了
24 我们可以由局部最优解，得到全局最优解，自然就可以用贪心来做
25 
26 
27 一个题目能不能用贪心来做的依据
28 因为贪心是“鼠目寸光”，求的是局部最优解，
29 如果局部最优解能够得到全局最优解，那么一个题目就能用贪心来做
30 
31 
32 算法步骤：
33 1、找到以a[i-1]结尾的连续非空子序列中和最大s[i-1]
34 2、
35 如果这个序列s[i-1]为负数，那么以a[i]结尾的连续非空子序列中和最大的序列就是a[i]本身（本身我们可以看做+0）
36 如果这个序列s[i-1]为正数，那么以a[i]结尾的连续非空子序列中和最大的序列就是a[i]+s[i-1]
37 3、在所有的s[i]中找最大的，即max(s[i]|1<=i<=n)
38 
39 
40 如果用贪心来求这个问题（最大连续子序列的和），输入的数全是负数怎么办，会不会出错
41 肯定是不会出错的，因为我们贪心的过程是找所有以a[i]结尾的子序列和最大的s[i]，
42 而得到全局最优解的过程是在s[i]中找最大的，这样囊括了所有的情况，所以肯定是对的
43 
44 贪心的时间复杂度：
45 O(n)
46 
47 贪心优化的原理
48 贪心能够优化枚举法，是因为贪心着眼于局部的最优策略，
49 只枚举了极少的局部的情况，所以贪心法有时候不一定对，但是一般效率都还可以
50 
51 
52 */
53 #include <iostream>
54 #include <algorithm>
55 using namespace std;
56 int a[200005];
57 int main(){
58     int n;
59     cin>>n;
60     for(int i=1;i<=n;i++){
61         cin>>a[i];
62     }
63     int sum=a[1];
64     int maxx=a[1];
65     for(int i=2;i<=n;i++){
66         if(sum<=0) sum=0;
67         sum+=a[i];
68         maxx=max(sum,maxx);
69     }
70     cout<<maxx<<endl;
71     return 0;
72 }

7、贪心优化

 1 /*
 2 
 3 上面贪心代码从代码层面上来看是可以优化的
 4 1、时间方面优化：循环可以合并（循环方向一致，循环最大值也是，并且两个循环之间没有什么逻辑操作代码）
 5 2、空间方面优化：代码中只用到了a[i]，所以a[]数组可以用一个变量来代替
 6 
 7 */
 8 #include <iostream>
 9 #include <algorithm>
10 using namespace std;
11 int main(){
12     int n;
13     cin>>n;
14     int sum;
15     cin>>sum;
16     int maxx=sum;
17     for(int i=2;i<=n;i++){
18         int x;
19         cin>>x;
20         if(sum<=0) sum=0;
21         sum+=x;
22         maxx=max(sum,maxx);
23     }
24     cout<<maxx<<endl;
25     return 0;
26 }

8、动态规划解法

/*
动态规划解法

这道题目，也可以用动态规划来做


以第i个数结尾的最大连续子序列的和，只存在两种选择：
情形1：只包含a[i]
情形2：包含a[i]和以a[i-1]结尾的最大连续和序列

所以f[i]表示以第i个元素结尾的子序列的最大值 

f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)

所以要求所有序列的最大值，就是
Answer=max{f[i]|1<=i<=n}

初始状态：f[1]=a[1]

算法步骤：
1、确定动态规划初始条件：f[1]=a[1]
2、动态规划操作：f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)
3、求ans：Answer=max{f[i]|1<=i<=n}

动态规划能够优化枚举的原理
动态规划能够优化，是因为找准了状态之间的转移关系（找到了题目的规律），并且存储了中间的状态，
减少了大量重复求状态的计算，所以动态规划一般效率非常高

*/

//代码层面优化的代码
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int a[200005];
int f[200005]={0};
int main(){
    int n;
    cin>>n;
    cin>>a[1];
    f[1]=a[1];
    //1、确定动态规划初始条件：f[1]=a[1]
    int maxx=f[1];
    for(int i=2;i<=n;i++){
        cin>>a[i];
        //2、动态规划操作：f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)
        f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]);
        //3、求ans：Answer=max{f[i]|1<=i<=n}
        maxx=max(f[i],maxx);
    }
    cout<<maxx<<endl;
    return 0;
}

//未从代码层面优化的代码
// #include <iostream>
// #include <algorithm>
// using namespace std;
// int a[200005];
// int f[200005]={0};
// int main(){
//     int n;
//     cin>>n;
//     for(int i=1;i<=n;i++){
//         cin>>a[i];
//     }
//     //1、确定动态规划初始条件：f[1]=a[1]
//     f[1]=a[1];
//     //2、动态规划操作：f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]) (2<=i<=n)
//     for(int i=2;i<=n;i++){
//         f[i]=max(f[i-1]+a[i],a[i]);
//     }
//     //3、求ans：Answer=max{f[i]|1<=i<=n}
//     int maxx=-0x7fffffff;
//     for(int i=1;i<=n;i++){
//         maxx=max(f[i],maxx);
//     }
//     cout<<maxx<<endl;
//     return 0;
// }