一些推广的对数积分的特殊值

首先我们定义

[egin{align*} { Large {Lleft[ egin{matrix} a,b,c \ d,e,f end{matrix};z ight] =int_0^z frac{ln^a x ln^b(1-x)ln^c(1+x)}{x^d (1-x)^e (1+x)^f} mathrm{d}x}} ag{1} end{align*}]

(1)中 (a,b,c,d,e,f) 和 (z) 为整数.

---

下面是一些特殊值

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,n,0 \ 1,0,0end{matrix};z ight]=(-1)^n n! left(zeta(n+1)- ext{Li}_{n+1}(1-z) ight)+n! sum_{j=1}^n frac{(-1)^{j}ln^{n-j+1}(1-z)}{(n-j+1)!} ext{Li}_j(1-z))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,0,n \ 1,0,0end{matrix};z ight])
(displaystyle =frac{ln^{n+1}(1+z)}{1+n}-n! sum_{j=1}^n frac{ln^{n-j+1}(1+z)}{(n-j+1)!} ext{Li}_j left(frac{1}{1+z} ight)+n! zeta(n+1)-n! ext{Li}_{n+1} left( frac{1}{1+z} ight))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,1,1 \ 1,0,0end{matrix};1 ight]=- frac{5zeta(3)}{8})

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,1,1 \ 2,0,0end{matrix};1 ight]=-frac{pi ^2}{12}-ln ^2(2))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,2,1 \ 0,0,0end{matrix};1 ight]=frac{7 zeta (3)}{2}-6+frac{2}{3} (ln (2)-3) ln ^2(2) -frac{1}{6} pi ^2 (ln (4)-2)+ln (16))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 1,0,1 \ 0,1,0end{matrix};1 ight]= zeta(3)-frac{pi^2}{4}ln(2))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 1,1,1 \ 0,0,0end{matrix};1 ight]= -6 + 4 ln 2 - ln^2 2 + frac{5}{2} zeta(2) - 3zeta(2) ln 2 + frac{21}{8} zeta(3))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 1,1,1 \ 1,0,0end{matrix};1 ight]= -frac{3 pi^4}{160}+frac{7ln(2)}{4}zeta(3)-frac{pi^2 ln^2(2)}{12} +frac{ln^4(2)}{12}+2 ext{Li}_4 left(frac{1}{2} ight))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 1,1,1 \ 0,1,0end{matrix};1 ight]= frac{17 pi^4}{1440}-frac{pi^2}{24}ln^2(2)-frac{ln^4(2)}{12}+frac{7}{8}zeta(3)ln(2)-2 ext{Li}_4 left( frac{1}{2} ight))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 1,1,2 \ 1,0,0end{matrix};1 ight]= frac{7}{8}zeta(2)zeta(3) - frac{25}{16} zeta(5))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 2,1,0 \ 1,0,0end{matrix};z ight]= 2ln( z) ext{Li}_3(z)-ln^2( z) ext{Li}_2(z)-2 ext{Li}_4(z))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 2,1,0 \ 0,1,0end{matrix};x ight]= -2left[ ext{Li}_4 left( frac{-x}{1-x} ight)+ ext{Li}_4(x)- ext{Li}_4(1-x)+ ext{Li}_4(1) ight]+2 Big[ln(1-x) ext{Li}_3(x))
(displaystyle -ln x ext{Li}_3(1-x) Big]+2ln x ln(1-x) ext{Li}_2(1-x)-frac{pi^2}{6}ln^2(1-x)+frac{1}{2}ln^2(1-x) ln^2 (x))
(displaystyle +frac{1}{3}ln(x)ln^3(1-x)-frac{1}{12}ln^4(1-x)+2zeta(3) ln left(frac{x}{1-x} ight))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 1,0,2 \ 0,1,0end{matrix};1 ight]=-frac{7pi^4}{144}-frac{5}{12}pi^2 ln^2(2)+frac{ln^4(2)}{2}+frac{21}{4}zeta(3) ln(2) +4 ext{Li}_4 left(frac{1}{2} ight))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} m,0,0 \ 0,1,0 end{matrix};z ight]=m! \, sum_{j=0}^m(-1)^jfrac{(ln z)^{m-j}}{(m-j)!} ext{Li}_{j+1}(z))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} m,0,0 \ 0,0,1 end{matrix};z ight]=m! \, sum_{j=0}^m(-1)^{j+1}frac{(ln z)^{m-j}}{(m-j)!} ext{Li}_{j+1}(-z))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} m,0,0 \ 1,1,0 end{matrix};z ight]= m! \, sum_{j=0}^m(-1)^jfrac{(ln z)^{m-j}}{(m-j)!}chi_{j+1}(z))
其中 (chi_ u(z)) 为 Legendre's Chi Function.

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} m,0,0 \ dfrac{1}{2},0,1 end{matrix};z^2 ight]=2^{m+1}m! \, sum_{j=0}^m(-1)^jfrac{(ln z)^{m-j}}{(m-j)!} ext{Ti}_{j+1}(z))
其中 ( ext{Ti}_ u(z)) 为 Inverse Tangent Integral.

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,m,0 \ 0,0,1 end{matrix};z ight]=ln^m(1-z)lnleft( frac{1+z}{2} ight)+(-1)^{m+1}m! \, ext{Li}_{m+1}left(frac{1}{2} ight))
(displaystyle + m! \, sum_{j=1}^m(-1)^{j+1} frac{ln^{m-j}(1-z)}{(m-j)!} ext{Li}_{j+1}left(frac{1-z}{2} ight))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,0,m \ 0,1,0 end{matrix};z ight]= -ln^m(1+z)lnleft( frac{1-z}{2} ight)+(-1)^{m+1}m! \, ext{Li}_{m+1}left(frac{1}{2} ight))
(displaystyle +m! \, sum_{j=1}^m(-1)^{j} frac{ln^{m-j}(1+z)}{(m-j)!} ext{Li}_{j+1}left(frac{1+z}{2} ight))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 2,3,0 \ 1,0,0 end{matrix};1 ight]=-frac{23}{1260}pi^6+12zeta^2(3))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 4,3,0 \ 1,0,0 end{matrix};1 ight]=-frac{61 pi^8}{1575}-12pi^2 zeta^2(3)+432zeta(3)zeta(5))

(displaystyle Lleft[ egin{matrix} 0,2,1 \ 0,0,1 end{matrix};1 ight]=displaystyle 2zeta (3) ln 2-frac{pi ^4}{360}+frac{ ln ^4 2}{4}-frac{1}{6} pi ^2 ln ^2 2)

其中的一些证明可以看这里