Public Easy Round #2 E 2048

\(f\)：长度为 \(i\) 的栈，栈底先填一个 \(j\) 的期望得分

• case 1 ： 直接把 \(j\) 升级。
• case 2 ： 下一个填比 \(j\) 大的，那我 \(j\) 就可以直接摆烂停止考虑，直接归约。
• case 3 ： 下一个比 \(j\) 小，那就要小心控制使得 \(j\) 不被升级。

因此得到另外的 \(dp\) 定义：

将 \(j\) 升级需要再造一个 \(j\) 在后面，因此
\(g\)：长度为 \(i\) 的栈，一波操作后得到单个 \(j\) 的 概率/期望得分。

• case 1 ： 人品爆发直接随一个出来
• case 2 ： 从 \(j - 1\) 合并上来，要先造一个 \(j - 1\) 再造一个 \(j - 1\)。

显然对于 \(g\) 的转移我们不用维护更多东西。

考虑 \(f\) 的其他转移。

怎样使得 \(j\) 再之后不被升级？
首先因为填的数比他小，因此这个数无论怎样被合并都不应该超越他，否则会被升级。
\(h\)：长度为 \(i\) 的栈，乱填一波，最后开头是个 \(j\) 的期望得分（好像不需要概率信息）。

case ：
要造一个数 \(j\) 出来，那就先合一个出来，然后让之后的东西不能给他升级(可能直接出比他大的，也可能比他小的合不上去)。
然后剩下部分的期望得分，一个是填出来开头比他小（归约至 \(j\)），另一个是填出来比他大（当且仅当开局就大，归约至 \(f\)）。

参考实现

int main() {
	read(n),read(m);
	int Tot = 0;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) read(a[i]) , Tot += a[i];
	Tot = Qpow(Tot , mod - 2);
	Power[0] = 1;
	for (int i = 1; i <= m; ++i) p[i] = Mul(Tot , a[i]) , g[0][1][i] = p[i];
	for (int i = 1; i <= n + m; ++i) Power[i] = Mul(Power[i - 1] , 2);
	
	for (int i = 2; i <= n; ++i) {
		for (int j = 1; j <= n + m; ++j) {
			g[0][i][j] = Add(p[j] , Mul(g[0][i][j - 1] , g[0][i - 1][j - 1]));
			g[1][i][j] = Add(Mul(Power[j] , Mul(g[0][i][j - 1] , g[0][i - 1][j - 1])) , Add(Mul(g[0][i - 1][j - 1] , g[1][i][j - 1]) , Mul(g[1][i - 1][j - 1] , g[0][i][j - 1])));
			h[i][j] = Add(Mul(g[1][i][j] , Sub(1 , g[0][i - 1][j])) , Mul(g[0][i][j] , Add(Ph[i - 1][j - 1] , Sf[i - 1][j + 1])));
			Ph[i][j] = Add(Ph[i][j - 1] , h[i][j]);
		}
		for (int j = n + m; j >= 1; --j) {
			f[i][j] = Add(Add(Mul(g[0][i - 1][j] , Add(f[i][j + 1] , Power[j + 1])) , g[1][i - 1][j]) , Add(Ph[i - 1][j - 1] , Sf[i - 1][j + 1]));
			Sf[i][j] = Add(Sf[i][j + 1] , Mul(f[i][j] , p[j]));
		}
	}
	
	write(Mul(Sf[n][1] , ((mod + 1) >> 1)));
	return 0;
}