线性基

整理一下线性基的题

HDU 5544

题意

给一个有边权的无向图，找一条闭合路径，使路径上权值异或和最大

题解

Hint1 如果这个图是一棵树？

Hint2 环之间相互独立？

对图进行一遍DFS，把所有找到的环插入线性基，再求最大值即可

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
#define N 500010
typedef long long LL;
vector< pair<int, LL> > G[N];
int T, n, m, u, v, cas, vis[N];
LL xorsum[N], p[N], w;

void insert(LL x) {
    for (int i = 62; i >= 0; i --) if ((x >> i) & 1) {
        if ( p[i] ) {
            x ^= p[i];
        } else {
            p[i] = x; 
            break;
        }
    }
}

void dfs(int u) 
{
    vis[u] = 1;
    for (int i=0;i<G[u].size();i++) 
    {   
        int v = G[u][i].first;
        if (vis[v] == 1) {
            insert(xorsum[u] ^ G[u][i].second ^ xorsum[v]);
        } else {
            xorsum[v] = xorsum[u] ^ G[u][i].second;
            dfs(v);
        }
    }
}

int main() {
    scanf("%d", &T);
    while (T --) {
        scanf("%d %d", &n, &m);

        for (int i = 0; i <= n; i ++) 
            G[i].clear(), xorsum[i] = 0, vis[i] = 0;
        
        for (int i = 0; i <= 62; i ++)
            p[i] = 0;

        for (int i = 1; i <= m; i ++) {
            scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w);
            G[u].push_back(make_pair(v, w));
            G[v].push_back(make_pair(u, w));
        }

        dfs(1);

        LL ans = 0; 
        for (int i = 62; i >= 0; i --) if ((p[i] ^ ans) > ans) 
            ans ^= p[i];

        printf("Case #%d: %lld
", ++ cas, ans); 
    }
}

WannaFly 挑战赛1 E

题意

给定一个无向简单图(即无重边无自环). 每条边都有一个权值. 这个图的一个鸽, 指的是将它的点集划分为两个不重不漏的集合S和T. 这个鸽的权值, 是所有两个端点分别属于S和T的边的权值的异或和(即, S内部的边和T内部的边都不算). 现在问这个图的鸽的所有可能权值的和是多少. 由于这个数很大, 只需要输出前9位, 不足9位则全部输出.

题解

每个划分方式对应一个二分图。辣么我们枚举所有的二分图。
把每个点的点权设为：与该点先连的边的权值异或和。然后把这些点权插入线性基即可。
考虑每个点取还是不取的同时，二分图就被枚举了。

#include <iostream>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define N 5000000
int n, m, u, v;
LL w, a[N], p[N];
void ins(LL x) {
    for (int i = 40; i >= 0; i --) if ((x >> i) & 1){
        if (!p[i]) {
            p[i] = x; break;
        } else {
            x ^= p[i];
        }
    }
}
int main() {   
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= m; i ++) {
        scanf("%d %d %lld", &u, &v, &w);
        a[u] ^= w; a[v] ^= w;
    }
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        ins(a[i]);
    }
    LL ans = 0, cnt = 0;
    for (int i = 0; i <= 40; i ++) if (p[i]) cnt ++;

    for (int i = 0; i <= 40; i ++) 
        for (int j = 0; j <= i-1; j ++) 
            p[i] ^= (p[i] & p[j]);

    for (int i = 0; i <= 40; i ++) {
        ans = ans + p[i] * (1LL << (cnt - 1));
    }
    while (ans >= 1000000000) ans /= 10;
    printf("%lld
", ans);
}

高斯消元版本

#include <iostream>
#include <vector>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int N = 100000+10;
int n, m, a[N], u, v, w;//0-index
int bit[32];

int main() {
     
    scanf("%d %d", &n, &m);
    for (int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d %d %d", &u, &v, &w);
        a[--u] ^= w, a[--v] ^= w;
    }
     
 
    int q = 0;
    for (int j = 31; j >= 0; j --)
        for (int i = q; i < n; i ++)
            if ((a[i] >> j) & 1) {
                swap(a[i], a[q]);
                bit[q ++] = (1 << j);
                for (int k = q; k < n; k ++) {
                    if (a[k] & bit[q-1])
                        a[k] ^= a[q-1];
                }
            }
     
 
    for (int i = q-1; i >= 0; i --)
        for (int j = i-1; j >= 0; j --)
            a[j] ^= (a[j]&a[i]);
     
 
    LL ans = 0;
    for (int i = 0; i < q; ++i)
    {
        ans += (1LL << (q - 1)) * a[i];   
    }
    while (ans > 999999999) {
        ans /= 10;
    }
    printf("%lld
", ans);
}

TopCoder - 12197

高斯消元后贪心凑最大。注意到：若两向量组张成的空间相同，则为等价。

LL maxSum(vector<LL> a) {
        n = a.size();
        int q = 0; 
        for (int j=60;j>=0;j--)
            for (int i=q;i<n;i++) 
                if ((a[i]>>j)&1) {
                    swap(a[i], a[q]);
                    bit[q ++] = (1LL<<j);
                    for (int k=q;k<n;k++)
                        if (a[k]&(1LL<<j)) a[k]^=a[q-1];
                }  
        for (int i=q-1;i>=0;i--)
            for (int j=i-1;j>=0;j--) 
                if (a[j] & bit[i]) a[j] ^= a[i];
        
        for (int i=1;i<q;i++) 
            a[0] ^= a[i];
        
        for (int i=1;i<n;i++) 
            a[i] ^= a[0];
        
        LL ans = 0;
        for (int i=0;i<n;i++)
            ans += a[i];

        return ans;
    }