HihoCoder 1596 Beautiful Sequence题解

题意：

首先定义一个序列为Beautiful为：对 2<=i<=n-1  : a[i-1]+a[i+1] >= 2*a[i]

给定n个数，问这些数的所有排列为Beautiful的有多少个

题解：

由 a[i-1]+a[i+1] >= 2*a[i]，知 a[i+1]-a[i] >= a[i]-a[i-1]，

也就是说，Beautiful的序列先单减，后单增。且相邻两项之间的差在变大。

将这n个数排序。

我们用dp[lastA][preA][lastB][preB]记录下：

当单减部分最大数为lastA，次大数为preA。单增部分最大数为lastB，次大数为preB时，的方案数。

新加入一个元素时，考虑一下放在左边，放在右边。就能转移了。

code：

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long LL;
#define MOD (1000000007)
int n;
LL dp[62][62][62][62];  //dp[last_A][pre_A][last_B][pre_B]
LL a[62];

int main()
{
    scanf("%d", &n);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        scanf("%lld", &a[i]);
    }
    //------------------------------- init 
    sort(a + 1, a + 1 + n);
    int low = 1; LL tmp = 1;
    for (int i = 2; i <= n; i ++) {
        if (a[i] == a[1]) {
            low ++; tmp = tmp * low % MOD;
        } 
    }
    n = n - (low - 1);
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        a[i] = a[i + low - 1];
    }
    //-------------------------------solve
    LL ans = 0;
    dp[1][0][1][0] = tmp;
    for (int i = 1; i <= n; i ++) {
        for (int j = 0; j < n; j ++) {
            for (int k = 1; k <= n; k ++) {
                for (int t = 0; t < n; t ++) {
                    int nxt = max(i, k) + 1;
                    if (nxt == n+1) {
                        (ans += dp[i][j][k][t]) %= MOD; continue;
                    }

                    // the next element joins A
                    if ( a[nxt] - a[i] >= a[i] - a[j] || j == 0) 
                        ( dp[nxt][i][k][t] += dp[i][j][k][t] ) %= MOD;
                    // the next element joins B
                    if ( a[nxt] - a[k] >= a[k] - a[t] || t == 0)
                        ( dp[i][j][nxt][k] += dp[i][j][k][t] ) %= MOD;
                }
            }
        }
    }
    //------------------------------------
    cout << ans << endl;
}