• 剩余定理


    剩余问题

    在整数除法里,一个数同时除以几个数,整数商后,均有剩余;已知各除数及其对应的余数,从而要求出适合条件的这个被除数的问题,叫做剩余问题。

    解法(基础数法)

    基础数的条件:

    (1)此数必须符合除数自身的余数条件;

    (2)此数必须是其他所有各除数的公倍数。

    • 第一步:求各除数的最小公倍数

    [3,5,7]=105

    • 第二步:求各除数的基础数

    (1)[3] 105÷3=35;[35]÷3=11……2

    (2)[5] 105 ÷ 5=21 ;21÷5=4……1(当于3);∵1×3=3;∴21×3=63

    (3)[7] 105 ÷ 7=15;15 ÷ 7=2……1(当于2);∵1×2=2;∴15×2=30

    • 第三步:求各基础数的和

    35+63+30=128

    • 第四步:求基准数(最小的,只有一个)

    128-105=23

    • 第五步:求适合条件的数X

    X=23+105K(K是整数)

    相关定理:

    • 定理1:几个数相加,如果只有一个加数,不能被数a整除,而其他加数均能被数a整除,那么它们的和,就不能被数a整除。

    如:

    10能被5整除,15能被5整除,但7不能被5整除,所以(10+15+7)不能被5整除。

     

    • 定理2:二数不能整除,若被除数扩大(或缩小)了几倍,而除数不变,则其余数也同时扩大(或缩小)相同的倍数(余数必小于除数)。      

    如:

    22÷7=3……1

    (22×4)÷7=12……1×4(=4)

    (22×9)÷7=28……1×9-7(=2)

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