CF1140GDouble Tree【最短路,矩阵乘法,树上倍增】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1140G

---

题目大意

给出一个\(n\)个点的树\(T\)，然后复制一份\(T'\)，每个\(T\)中的点\(i\)向\(T'\)中的点\(i\)都有连边构成一张图。

图上所有权值各不相同，现在\(q\)次询问图上两点的最短路。

\(1\leq n\leq 3\times 10^5,1\leq q\leq 6\times 10^5\)

---

解题思路

因为树上两点简单路径唯一，所以\(x\)到\(y\)之间的最短路肯定是包括两棵树中\(x\sim y\)路径上的某些点的。

现在问题就是从\(x\)到\(x'\)的切换问题，我们直接用最短路求出每个\(x\)到\(x'\)的最短距离，因为这样的距离肯定是在树上找一条点\(y\)，\(x\)走到点\(y\)再从\(y'\)走回\(x'\)。

然后设\(f_{i,j,p,q}\)表示从点\(i\)出发往上跳了\(2^j\)步且原来在第\(p\)棵树上，现在在第\(k\)棵树上的方案。发现这个转移可以用矩阵乘法来优化。

然后求答案的时候找\(LCA\)的时候合并\(f\)矩阵就好了。

时间复杂度：\(O((n+q)\log n)\)

---

code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<queue>
#define ll long long
#define mp(x,y) make_pair(x,y)
using namespace std;
const ll N=3e5+10,T=21,S=2;
struct edge{
	ll to,next,u,v;
}a[N<<1];
struct node{
	ll a[S][S];
}c,one,G[N][T];
ll n,Q,tot,ls[N],f[N],dep[N],g[N][T];
bool v[N];
priority_queue<pair<ll,ll> > q;
node operator*(const node &a,const node &b){
	memset(c.a,0x3f,sizeof(c.a));
	for(ll i=0;i<S;i++)
		for(ll j=0;j<S;j++)
			for(ll k=0;k<S;k++)
				c.a[i][j]=min(c.a[i][j],a.a[i][k]+b.a[k][j]);
	return c;
}
void addl(ll x,ll y,ll u,ll v){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];ls[x]=tot;
	a[tot].u=u;a[tot].v=v;
	return;
}
void dij(){
	for(ll i=1;i<=n;i++)q.push(mp(-f[i],i));
	while(!q.empty()){
		ll x=q.top().second;q.pop();
		if(v[x])continue;v[x]=1;
		for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
			ll y=a[i].to;
			if(f[x]+a[i].u+a[i].v<f[y]){
				f[y]=f[x]+a[i].u+a[i].v;
				q.push(mp(-f[y],y));
			}
		}
	}
	return;
}
void dfs(ll x,ll fa){
	dep[x]=dep[fa]+1;
	for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
		ll y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		dfs(y,x);g[y][0]=x;
		G[y][0].a[0][0]=min(a[i].u,f[x]+f[y]+a[i].v);
		G[y][0].a[1][1]=min(a[i].v,f[x]+f[y]+a[i].u);
		G[y][0].a[0][1]=min(a[i].u+f[x],a[i].v+f[y]);
		G[y][0].a[1][0]=min(a[i].v+f[x],a[i].u+f[y]);
	}
	return;
}
node Ask(ll x,ll y){
	node X=one,Y=one;bool flag=0;
	if(x==y){X.a[0][0]=X.a[1][1]=0;X.a[0][1]=X.a[1][0]=f[x];return X;}
	if(dep[x]<dep[y])swap(x,y),flag=1;
	for(ll i=T-1;i>=0;i--)
		if(dep[g[x][i]]>=dep[y])
			X=X*G[x][i],x=g[x][i];
	if(x==y){
		if(flag)swap(X.a[0][1],X.a[1][0]);
		return X;
	}
	for(ll i=T-1;i>=0;i--)
		if(g[x][i]!=g[y][i])
			X=X*G[x][i],x=g[x][i],
			Y=Y*G[y][i],y=g[y][i];
	X=X*G[x][0];Y=Y*G[y][0];
	swap(Y.a[0][1],Y.a[1][0]);
	X=X*Y;if(flag)swap(X.a[0][1],X.a[1][0]);
	return X;
}
signed main()
{
	memset(one.a,0x3f,sizeof(one.a));
	one.a[0][0]=one.a[1][1]=0;
	scanf("%lld",&n);
	for(ll i=1;i<=n;i++)
		scanf("%lld",&f[i]);
	for(ll i=1,x,y,u,v;i<n;i++){
		scanf("%lld%lld%lld%lld",&x,&y,&u,&v);
		addl(x,y,u,v);addl(y,x,u,v);
	}
	dij();dfs(1,0);
	for(ll j=1;j<T;j++)
		for(ll i=1;i<=n;i++){
			g[i][j]=g[g[i][j-1]][j-1];
			G[i][j]=G[i][j-1]*G[g[i][j-1]][j-1];
		}
	scanf("%lld",&Q);
	while(Q--){
		ll x,y;
		scanf("%lld%lld",&x,&y);
		node tmp=Ask((x+1)/2,(y+1)/2);
		printf("%lld\n",tmp.a[!(x&1)][!(y&1)]);
	}
	return 0;
}