AT2293[AGC009D] Uninity【贪心,状压】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/AT2293

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题目大意

给出一棵树，求它一棵点分树的最小深度。

\(1\leq n\leq 10^5\)

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解题思路

点分树的做法是直接找重心，但是两个重心我们很难确定找哪个，所以这个方法行不通。

但是这样我们大概能确定答案的上界是\(\log n\)级别的。考虑我们记每个点的点分子树深度\(d_i\)，那么\(d_i\)肯定满足对于一对深度相同的\((x,y)\)，它们的路径上肯定存在一个点\(z\)满足\(d_z>d_x,d_z>d_y\)。

那么同样的，如果我们得到一个满足这个条件的数组\(d\)，我们也能构造出一棵合法的点分树，所以我们的目的就是要最小化\(d\)的值。

考虑一个构造方法，对于一个节点\(x\)的深度\(p\)，首先如果它的儿子中有深度为\(p\)的点那么显然不合法，如果存在一个在它不同子树中的节点\(y\)的深度\(\geq p\)，并且\(x\leftrightarrow y\)路径上节点深度都不超过\(p\)，那么显然也不合法。

显然上面这两个条件我们可以用状压搞定。

但是这样构造为什么是合法的呢？我也不知道，只能感性证明一下。能发现我们的操作中如果一个节点\(x\)选择了深度\(p\)，那么它往上的限制中所有深度\(<p\)的限制都会被打开，也就是说实际上选择更大的深度并不会放松后面的限制，所以选最小的更优。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e5+10;
struct node{
	int to,next;
}a[N<<1];
int n,tot,ls[N],f[N],ans;
void addl(int x,int y){
	a[++tot].to=y;
	a[tot].next=ls[x];
	ls[x]=tot;return;
}
void dfs(int x,int fa){
	int p=0,s=0;
	for(int i=ls[x];i;i=a[i].next){
		int y=a[i].to;
		if(y==fa)continue;
		dfs(y,x);
		for(int j=30;j>=0;j--)
			if(s&f[y]&(1<<j))
			{p=max(p,j+1);break;}
		s|=f[y];
	}
	while((s>>p)&1)p++;
	ans=max(ans,p);
	f[x]=s|((1<<p+1)-1);
	f[x]=f[x]^((1<<p)-1);
	return;
}
int main()
{
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1,x,y;i<n;i++){
		scanf("%d%d",&x,&y);
		addl(x,y);addl(y,x);
	}
	dfs(1,0);
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}