YbtOJ选点构形【欧拉函数】

正题

题目链接:https://www.ybtoj.com.cn/contest/351/problem/1

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题目大意

一个圆上，你需要在\(3\sim n\)中选出\(k\)个作为\(a_i\)，然后再圆上选择最少的点使得对于每个\(a_i\)你都能用选出的点连成一个正\(a_i\)边形。

\(k+2\leq n\leq 10^6\)

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解题思路

首先我们固定一个\(0\)点因为肯定所有的正\(a_i\)边形都交于一个点。

然后考虑对于一个\(a_i\)，我们需要的点就是\(\frac{1}{a_i}\times k(0\leq k<a_i)\)。

注意到一个\(a_i\)如果存在一个\(a_j=k\times a_i\)那么\(a_i\)就不会产生贡献。反过来说\(a_j\)的贡献会减少\(a_i\)。

而我们肯定是优先选择\(a_i\)的，也就是说\(a_j\)选择当且仅当它的所有约数都被选择，而此时\(a_j\)产生的贡献恰好就是\(\varphi(a_j)\)（因为所有\(a_j\)约数产生的贡献和为\(a_j\)，我们可以视为它们的贡献都单独为\(\varphi(x)\)）

那么我们可以把\(3\sim n\)按照\(\varphi\)排序从小到大加就好了。

至于\(1,2\)，特判一下比较小的情况就可以了，\(k\)比较大时显然\(1,2\)会被选上去，需要多选\(2\)个。

时间复杂度：\(O(n\log n)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int N=1e6+10;
int n,k,cnt,phi[N],pri[N/10];
bool v[N];
int main()
{
	freopen("point.in","r",stdin); 
	freopen("point.out","w",stdout);
	scanf("%d%d",&n,&k);
	if(k==1)return puts("3")&0;
	if(k==2)return puts("6")&0;
	phi[1]=1;
	for(int i=2;i<=n;i++){
		if(!v[i])phi[i]=i-1,pri[++cnt]=i;
		for(int j=1;j<=cnt&&i*pri[j]<=n;j++){
			v[i*pri[j]]=1;
			if(i%pri[j]==0){
				phi[i*pri[j]]=phi[i]*pri[j];
				break;
			}
			phi[i*pri[j]]=phi[i]*phi[pri[j]];
		}
	}
	sort(phi+1,phi+1+n);
	long long ans=0;
	for(int i=1;i<=k+2;i++)ans+=phi[i];
	printf("%lld\n",ans);
	return 0;
}