CF1267GGame Relics【数学期望,dp】

正题

题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/CF1267G

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题目大意

给出\(n\)个物品，你可以进行如下操作

• 花费\(x\)获得随机一个物品。
• 花费\(c_i\)获得第\(i\)个物品。

\(1\leq n\leq 100,1\leq x\leq 10000,\sum a_i\leq 10^4\)

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解题思路

一个显然的策略是我们先roll完再买，所以我们可以分开考虑两部分先。

首先假设我们roll到了\(x\)个物品，显然所有大小为\(x\)的物品集合都是等概率出现的。而至于roll出\(x\)个物品的期望花费我们也很好算。

但是我们显然很难从一种情况下的下一步方案考虑，因为能到达每个方案的期望都是不同的，而我们不可能记录所有方案。

但是有一个很巧妙的方法，我们花钱也可以视为随意\(roll\)物品，假设目前没有获得的物品费用和为\(s\)，个数为\(k\)，那么我们就可以视为花费\(\frac{s}{k}\)的期望随机\(roll\)出一个物品。

此时两种方案造成的结果都是多一个随机未获得物品，但是花费不同，我们直接取\(min\)即可。

那么现在的做法已经很显然了，设\(f_{i,j}\)表示\(i\)个物品的集合中花费和为\(j\)的概率，然后考虑两种方案的哪个更优就好了。

时间复杂度：\(O(n\sum a_i)\)

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code

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
using namespace std;
int n,sum;
double ans,x,f[110][110000];
int main()
{
	scanf("%d%lf",&n,&x);x/=2.0;
	f[0][0]=1;
	for(int i=1,a;i<=n;i++){
		scanf("%d",&a);sum+=a;
		for(int j=i;j>=1;j--)
			for(int k=sum;k>=a;k--)
				f[j][k]+=f[j-1][k-a]*j/double(n-j+1);
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=sum;j++)
			if(f[i][j]!=0.0)
				ans=(ans+f[i][j]*min(((double)n/i+1.0)*x,(double)j/i));
	printf("%.12lf\n",ans);
	return 0;
}