正题
题目链接:https://www.luogu.com.cn/problem/P5643
题目大意
给出\(n\)个点的一棵树，一个人从点\(x\)开始随机游走，然后\(Q\)次询问给出一个点集\(S\)，求期望多少步这个人会经过这个点集中的所有点。
\(1\leq n\leq 18,1\leq Q\leq 5000\)
解题思路
整个点集都走完比较难统计，我们可以考虑用\(min-max\)容斥转为求走到其中一个点的期望步数。
我们设我们目前枚举的集合是\(S\)，那么首先有\(f_x=0(x\in S)\)
然后有转移方程：
\[f_{x}=\frac{1}{deg_x}(f_{fa_x}+\sum_{x\rightarrow y}f_{y})
\]
惯例的我们设\(f_x=A_xf_{fa_x}+B_x\)
\[f_{x}=\frac{1}{deg_x}\left(f_{fa_x}+\sum_{x\rightarrow y}(A_yf_x+B_y)\right)
\]
\[f_{x}=\frac{1}{deg_x}f_{fa_x}+\frac{sumAf_x}{deg}+\frac{1}{deg_x}sumB+1
\]
\[\frac{deg_x-sumA}{deg_x}f_x=\frac{1}{deg_x}f_{fa_x}+\frac{1}{deg_x}sumB+1
\]
\[f_x=\frac{1}{deg_x-sumA}f_{fa_x}+\frac{deg_x+sumB}{deg_x-sum_A}
\]
这样我们就可以推出\(A\)和\(B\)，而\(B_x\)就是节点\(x\)的\(f\)值，记\(g_S=B_x\)。
那么根据min-max容斥如果我们询问集合\(S\)时答案就是
\[\sum_{T\sube S}(-1)^{|T|+1}g_T
\]
用个高维前缀和就可以预处理所有集合的答案了。
时间复杂度：\(O(n2^n\log P)\)
code
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
const ll N=18,P=998244353;
struct node{
ll to,next;
}a[N<<1];
ll n,Q,rt,tot,ls[N],deg[N];
ll A[N],B[N],c[1<<N],f[1<<N];
ll power(ll x,ll b){
ll ans=1;
while(b){
if(b&1)ans=ans*x%P;
x=x*x%P;b>>=1;
}
return ans;
}
void addl(ll x,ll y){
a[++tot].to=y;
a[tot].next=ls[x];
ls[x]=tot;deg[y]++;
return;
}
void dfs(ll x,ll fa,ll S){
ll sumA=0,sumB=0;
if((S>>x)&1){A[x]=B[x]=0;return;}
for(ll i=ls[x];i;i=a[i].next){
ll y=a[i].to;
if(y==fa)continue;
dfs(y,x,S);
sumA=(sumA+A[y])%P;
sumB=(sumB+B[y])%P;
}
ll inv=power((deg[x]-sumA+P)%P,P-2);
A[x]=inv;B[x]=(deg[x]+sumB)*inv%P;
return;
}
signed main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&Q,&rt);rt--;
for(ll i=1,x,y;i<n;i++){
scanf("%lld%lld",&x,&y);x--;y--;
addl(x,y);addl(y,x);
}
ll MS=(1<<n);
for(ll s=1;s<MS;s++){
memset(A,0,sizeof(A));
memset(B,0,sizeof(B));
dfs(rt,n,s);f[s]=B[rt];
}
for(ll s=1;s<MS;s++){
c[s]=c[s-(s&-s)]+1;
f[s]=((c[s]&1)?f[s]:(P-f[s]));
}
for(ll i=0;i<n;i++)
for(ll s=MS-1;s>=0;s--)
if((s>>i)&1)(f[s]+=f[s-(1<<i)])%=P;
while(Q--){
ll k,s=0;scanf("%lld",&k);
for(ll i=0,x;i<k;i++)
scanf("%lld",&x),s|=(1<<x-1);
printf("%lld\n",f[s]);
}
return 0;
}